Cтраница 1
Регулярное пространство удовлетворяет локальной аксиоме счетности, если каждая его точка имеет окрестность, являющуюся пространством со счетной базой. [1]
Регулярное пространство паракомпактно в том и только в том случае, когда в любое его открытое покрытие можно вппкипь локально конечное замкнутое покрытие. [2]
Регулярное пространство паракомпактно тогда и только тогда, когда оно допускает дробление. [3]
Регулярное пространство не обязательно является Ггпрост-ранством. Существует также регулярное Г2 - пространство, на котором каждая непрерывная функция постоянна ( см. Келли [ 1, стр. [4]
Регулярное пространство со счетной базой нормально. [5]
Регулярные пространства с измельчением называются мо-ровскими пространствами. Со времени работы Джоунса [1937], где было показано, что в предположении неравенства 2 2 1 каждое сепарабельное нормальное моровское пространство метризуемо, много усилий было посвящено проблеме: метризуемо ли каждое нормальное моровское пространство. Предположение о нормальности существенно: плоскость Немыцкого является моровским пространством. [6]
Регулярное пространство X паракомпактно тогда и только тогда, когда в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное ( не обязательно открытое) покрытие. [7]
Любое регулярное пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, нормально. [8]
Регулярное пространство X обладает свойством Линделефа в том и только том случае, если каждое счетно центрированное семейство замкнутых в X множеств имеет непустое пересечение. [9]
Регулярное пространство X, такое, что hl ( X) hd ( X) 4t0, называется 5-пространством. Пример наследственно нормального и наследственно сепарабельного счетно компактного пространства X, не являющегося линделефовым пространством, был построен в 11974 ] Хайналом и Юхасом в предположении континуум-гипотезы. Осташевский в [1976] вывел из одного теоретико-множественного утверждения, совместимого с аксиомами теории множеств, что существует наследственно сепарабельное счетно компактное локально компактное хаусдорфово пространство с первой аксиомой счетности, не являющееся линделефовым пространством. Слив воедино последние две конструкции, Юхас, Кунен и М. Э. Рудин привели в [1976] ( в предположении континуум-гипотезы) намного более простой пример наследственно сепарабельного локально компактного хаусдорфова пространства с первой аксиомой счетности, не являющегося линделефовым пространством. Из примера Осташевского и одного результата Сентмиклоси [1978] следует, что существование компактных 5-пространств совместимо с обычными аксиомами теории множеств и не зависит от них. [10]
Регулярное пространство X, для которого hd ( X) Л / ( Х) К0, называется L-пространством. [11]
Всякое регулярное пространство, разумеется, хаусдорфово. Это - хаусдорфово пространство, в нем точка 0 и последовательность 1 / л - непересекающиеся замкнутые множества, но они не отделимы друг от друга непересекающимися окрестностями. [12]
Всякое регулярное пространство вполне отделимо. Всякое подпространство вполне отделимого пространства вполне отделимо. Всякое произведение вполне отделимых пространств вполне отделимо. Всякая топология, мажорирующая вполне отделимую топологию, вполне отделима. [13]
Каждое регулярное пространство хаусдорфово. Дрйствит & и-но, если х и у - две различные точки регулярного пространства, то, в силу первой аксиомы отделимости, одноточечное множество у замкнуто. Тогда по третьей аксиоме отделимости для точки х и множества [ у ] существуют непересекающиеся окрестности. [14]
Каждое регулярное пространство со счетной базой является линделефовым пространством. [15]