Cтраница 2
Последние сводили задачу для вполне регулярного пространства Т к компактному случаю, вкладывая Т в его стоуночеховскую компак-тификацию ЗГ. [16]
Можно еще сказать, что вполне регулярное пространство можно погрузить в компактное пространство; часто оказывается удобным придать: тому результату следующий вид. [17]
Пусть X - не компактное вполне регулярное пространство. [18]
Докажите, что для каждого вполне регулярного пространства У существует вполне регулярное пространство Z, такое, что PZ Z У. [19]
Обратно, пусть Е - такое вполне регулярное пространство, что в множестве равномерных структур, согласующихся с его топологией, существует структура 9 / т, мажорируемая всеми остальными. Используя упражнение 6, показать, что Е, наделенное структурой 9 / 17 предкомпактпо; убедиться затем, что дополнение к Е относительно его пополнения в структуре 2 [ не может содержать более одной точки. [20]
Докажите, что если X - вполне регулярное пространство и на Rx существует приемлемая топология, то пространство X локально компактно ( см. упр. [21]
К - - любое непрерывное отображение вполне регулярного пространства X а произвольный бикомпакт, тогда отображение ( foT - l): Т ( X) - - К может быть продолжено ( очевидно, единственным обрам м ] до непрерывного отображения /: f) X К. [22]
Поймать, что если Е - субметризуемоо вполне регулярное пространство, то в К существует равномерная структура, согласующаяся с его топологией, такая, что К к пен полно. [23]
Свободная топологическая алгебра А р-класса, порождаемая вполне регулярным пространством X, содержит X в качестве замкнутого подмножества и является алгебраически свободной над X. Подалгебра В, порождаемая финитно в А элементами замкнутого подмножества Y d X, является замкнутой в А. [24]
Пусть компактная группа Ли G действует на вполне регулярном пространстве X таким образом, что все орбиты имеют один и тот же тип О / Я. [25]
Из вышеприведенных результатов А. Н. Тихонова следует, что всякое вполне регулярное пространство имеет хаусдорфово бикомпактное расширение. Развивая далее идеи, связанные с этими результатами, чешский математик Чех показал, что среди хаусдорфовых бикомпактных расширений вполне регулярного пространства X может быть выделено одно, являющееся в следующем смысле максимальным: оно может быть непрерывно отображено на всякое хаусдорфово бикомпактное расширение X и притом так, что всякая точка самого пространства X отобразится на самое себя. Это чехово расширение пространства X существенно единственно. Оно обозначается символом рх. [26]
Из теоремы А. Н. Тихонова непосредственно вытекают важные следствия, характеризующие вполне регулярные пространства, как подпространства бикомпактов и как подпространства нормальных пространств. Для того чтобы пространство было подпространством бикомпакта, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне регулярным. [27]
Каждый бикомпакт является нормальным и, тем более, вполне регулярным пространством. Пересечение любого счетного семейства открытых всюду плотных в бикомпакте множеств всюду плотно в нем. [28]
Докажите, что для каждого вполне регулярного пространства У существует вполне регулярное пространство Z, такое, что PZ Z У. [29]
Этот пункт посвящен описанию одного важного бикомпактного хаусдорфова расширения произвольного вполне регулярного пространства, широко известного иод названием расширения Стоуна-Чеха, а также установлению некоторых его замечательных свойств. [30]