Cтраница 3
Показать, что всякое вейерштрассово ( § 1, упражнение 22 вполне регулярное пространство - бэровскоо. [31]
Замечание 4.17. В следующем пункте будет построено так начинаемое стоуп-чехоиское расширение Х произвольного вполне регулярного пространства X, на которое можно непрерывно продолжить уже любое непрерывное отображение X в произвольный бикомпакт. [32]
Пусть пара ( / Х, /) - произвольное бикомпактное хаусдорфово расширение вполне регулярного пространства X, тогда, по доказанному, отображение ( foT - 1): T ( X) - l) X непрерывно продолжимо до отображения / рХ - ЬХ, которое и есть искомое естественное отображение, ибо соответствующая диаграмма, как легко проверить, коммутативна. [33]
В § 5 мы докажем теорему Глисона [1], из которой следует, что если X - вполне регулярное пространство, на котором свободно действует компактная группа Ли G, то X есть тотальное пространство некоторого главного G-расслоения. Таким образом, в этом случае понятия главного G-расслоения и свободного G-действия канонически эквивалентны. [34]
Докажем теперь еще одно утверждение, которое вместе с предыдущим предложением позволяет установить тот замечательный факт, что каждое вполне регулярное пространство веса ц обладает бикомпактным хаусдорфовым расширением того же веса. [35]
Покажите, что топология - пространства X порождается семейством отображений в вещественную прямую тогда и только тогда, когда X - вполне регулярное пространство. [36]
Для вполне регулярного пространства семейство всех его непрерывных отображений на сегмент [0; 1] различает точки этого пространства, вследствие чего на произвольном вполне регулярном пространстве существует много непрерывных функций. [37]
Если топологическое пространство удовлетворяет аксиомам ( С) и ( Ощ), то оно удовлетворяет и аксиоме ( Оу), а ассоциированное вполне регулярное пространство компактно. [38]
В работе [ 521 Ю. М. Смирнов путем сочетания именно этого метода с установленными им же глубокими результатами теории пространств близости впервые описал все бикомпактные хлусдорфовы расширения произвольного вполне регулярного пространства. [39]
Выберем векторы % ( х) непрерывно зависящими от х в некоторой окрестности V точки XQ и возьмем непрерывную функцию ф () такую, что ф ( а ( о)) т 0 и ф ( а ( л)) 0 вне а ( У) Такая функция существует по определению вполне регулярного пространства. [40]
Показать, что всякое пполне регулярное лнндолефово пространство ( гл. Вегтер-штрассово вполне регулярное пространство вещественно полно, только когда оно компактно. [41]
Стремясь получить аналогичные результаты для пространств любого веса, А. Н. Тихонов [3] ввел еще один важный класс пространств - пространства вполне регулярные. Определение вполне регулярного пространства аналогично определению регулярного пространства и отличается от последнего определения только тем, что отделимость окрестностями заменяется функциональной отделимостью. [42]
Всякое вполне регулярное пространство регулярно. Всякое подпространство вполне регулярного пространства вполне регулярно. Произведение всякого семейства вполне регулярных пространств вполне регулярно. [43]
Поскольку свободная группа пространства X характеризуется чисто аксиоматически то важным вопросом является доказательство ее существования. Оказывается, для каждого вполне регулярного пространства X свободная топологическая группа F существует и определяется однозначно с точностью до топологических изоморфизмов, переводящих точки X в себя. Множество X является свободным базисом F в смысле абстрактной теории групп и замкнуто в F. Из последнего свойства непосредственно вытекает положительное решение упоминавшегося выше вопроса о существовании ненормальных групп. Назовем топологическую группу G свободной, если существует вполне регулярное пространство, свободной топологической группой которого G является. [44]
Ощ) необходимо и достаточно, чтобы оно обладало следующим свойством: всякое замкнутое множество в Е является пересечением своих окрестностей. Тогда Е равномеризуемо, а вполне регулярное пространство, ассоциированное с Е ( § 1, упражнение 4), нормально. [45]