Cтраница 4
Вейерштрасса, но не совладает со всем RR, так как оно не содержит функцию sin я - это легко проверить. Можно доказать, что если вполне регулярное пространство X удовлетворяет теореме Стоуна - Вейерштрасса, то X является компактом ( см. упр. [46]
Если рассматриваются свободные топологические группы, а в качестве X берутся не вполне регулярные пространства, то т Ог так как все подмножества группового пространства вполне регулярны. Какие значения может иметь т для свободных групп над вполне регулярными пространствами. [47]
Действительно, по теореме 5.20 локально компактное хаусдорфово пространство гомеоморфно подпространству компакта. Каждый компакт является нормальным ( теорема 5.8), а значит, и вполне регулярным пространством. Утверждение следствия вытекает теперь из того, что свойство вполне регулярности наследственное. [48]
Из вышеприведенных результатов А. Н. Тихонова следует, что всякое вполне регулярное пространство имеет хаусдорфово бикомпактное расширение. Развивая далее идеи, связанные с этими результатами, чешский математик Чех показал, что среди хаусдорфовых бикомпактных расширений вполне регулярного пространства X может быть выделено одно, являющееся в следующем смысле максимальным: оно может быть непрерывно отображено на всякое хаусдорфово бикомпактное расширение X и притом так, что всякая точка самого пространства X отобразится на самое себя. Это чехово расширение пространства X существенно единственно. Оно обозначается символом рх. [49]
Замечание 2.4. Ясно, что всякое нормальное пространство вполне регулярно, ибо в нем каждая точка ( будучи замкнутым множеством) функционально отделима от любого, не содержащего его замкнутого множества. Далее, из того, что полная регулярность есть свойство наследственное, а также из существования нормального, но не наследственно нормального пространства вытекает, что существуют такие вполне регулярные пространства, которые не являются нормальными. [50]