Cтраница 2
Справедлива следующая теорема о нормируемости линейного топологического пространства. [16]
Из связи, существующей в линейном топологическом пространстве между алгебраическими операциями и топологией, вытекает, что топология в таком пространстве полностью определяется заданием системы окрестностей нуля. [17]
Из связи, существующей в линейном топологическом пространстве между алгебраическими операциями и топологией, вытекает, что топология в таком пространстве полностью определяется заданием системы окрестностей нуля. Тогда U - - x - сдвиг этой окрестности на л: - есть окрестность точки х; очевидно, что любая окрестность любой точки х Е может быть получена таким способом. [18]
Проверим сейчас, что в любом линейном топологическом пространстве всякое компактное множество ограничено. [19]
Определение 3.5. Пусть Е - хаусдорфово линейное топологическое пространство, - его подмножество. [20]
В дальнейшем мы будем рассматривать и более общие линейные топологические пространства, чем счетно-нормиро-ванные; поэтому уместно здесь же дать определение ограниченных множеств, которое будет годиться и в более общих случаях. [21]
Покажем, что выполнены все аксиомы линейного топологического пространства. [22]
Пусть Lrt и Lr2 - два линейных топологических пространства, А - линейный оператор, отображающий L в Ьт2, тогда из непрерывности оператора А следует его ограниченность. [23]
Иногда удобно называть исходную топологию в линейном топологическом пространстве сильной топологией, противопоставляя ее слабой топологии. Для счетно-норми-рованных пространств это соответствует действительности, так как исходная топология совпадает с сильной; в других случаях такого неточного употребления названия сильная топология мы будем делать специальные оговорки. [24]
Действительно, пусть множество А в линейном топологическом пространстве Ф не ограничено; покажем, что оно не компактно. [25]
Теория интегрирований оператора, действующего аэ одного линейного топологического пространства в другое, горазда многообразней и сложнее. С другой, при построении этого понятия преследуются определение прикладные цели. И ютя такой подход представляется естественным в ряде случаев он оказывается для нас недостаточно биективным. [26]
Линейное ( вещественное) пространство М называется линейным топологическим пространством, если в него введена топология, в которой действия сложения и умножения на число являются непрерывными. Более точно, это означает, что отображения М X М - М и R X М - М ( R - совокупность всех вещественных чисел с обычной топологией, когда открытым множеством служит объединение люб. [27]
Проверить, что любое нормированное пространство является линейным топологическим пространством. [28]
Если X есть выпуклый бикомпакт в локально выпуклом линейном топологическом пространстве то при всяком непрерывном отображении X в самого себя имеется хотя бы одна точка, совпадающая со своим образом. [29]
Но если от нормированных пространств мы перейдем к линейным топологическим пространствам, то здесь уже обнаруживаются важные для анализа классы пространств, все ограниченные множества в которых компактны. [30]