Cтраница 2
Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность имеет предел. Полное нормированное пространство Н, в котором норма определена скалярным произведением, называется гильбертовым пространством. [16]
Метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому его элементу. [17]
Метрические пространства ( X, рх) и ( Y, Ру) называются изометричнымн, если между ними существует изометрия. [18]
Метрическое пространство ( X, р) называется компактным, если у любой последо-нательности точек - этого пространства существует сходящаяся подпоследовательность. [19]
Метрическое пространство ( X, р) называется пред компактным, если у любой последовательности в л существует подпоследовательность Коши. [20]
Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно предкомпактно и полно. [21]
Метрическое пространство ( X, р) Нйяынпется вполне ограниченным, если для любого Э 0 и X существует конечная е-сеть. [22]
Метрические пространства - это равномерные пространства специального типа; в общем виде равномерные пространства были определены лишь недавно А. До этого понятия и результаты, относящиеся к равномерным структурам, умели применять только к метрическим пространствам; это и объясняет ту важную роль, которую метрические или метризуемые пространства ( в частности, метризуемые компактпые иространства) играют во многих современных работах по топологии в вопросах, где расстояние в действительности совершенно не нужно. Это и сделано в настоящей главе; в частности, теорема о пополнении равномерных пространств ( § 3, теорема 3) представляет собой не что иное, как перенесение боя каких-либо существенных изменений канторовского построения вещественных чисел. [23]
Метрическое пространство ( X d) называется сепарабельным, если оно содержит счетное и всюду плотное подмножество. [24]
Метрическое пространство Е называется полным, если любая последовательность Коши в нем сходится. [25]
Метрическое пространство называется компактным, если оно представляет собой компактное в самом себе подмножество. [26]
Метрическое пространство, определенное на Е ( Х) метрикой б, обозначается через Е ( Х, 6), а метрическое пространство, определенное на ЕС ( Х), - через ЕС ( Х 6) ( ср. [27]
Метрическое пространство М называется n - мерным многообразием ( или просто многообразием), если каждая его точка Р содержится в окрестности U С М, гомеоморфной некоторой области V евклидова пространства Rn. Это условие кратко формулируют следующим образом: n - мерное многообразие М локально гомеоморф-но области в евклидовом пространстве Rn. [28]
Метрические пространства являются частным случаем значительно более общей структуры, а именно топологического пространства. Вообще о топологическом пространстве говорят в тех случаях, когда можно каким-либо образом задать расстояние и окрестность, с помощью которых, как будет показано в дальнейшем, можно определить понятие предела. [29]
Метрическое пространство М называется п-мерным многообразием ( или просто многообразием), если каждая его точка Р содержится в окрестности U С М, гомеоморфной некоторой области V евклидова пространства Rn. Это условие кратко формулируют следующим образом: п-мерное многообразие М локально гомеоморфно области в евклидовом пространстве Rn. Области Vi могут, вообще говоря, пересекаться между собой. [30]