Cтраница 3
Сверх того, мы увидим, что безмассовые полевые уравнения для произвольного спина ( волновое уравнение, уравнение Вейля для нейтрино, уравнения Максвелла для свободного поля, линеаризованные уравнения Эйнштейна) возникают очень простым путем из комплексной структуры твисторного пространства: они задаются контурными интегралами голоморфных функций от твисторов. Твисторное представление дает геометрическую трактовку обычному расщеплению амплитуд полей на части положительной и отрицательной частоты, описывая его в терминах расположения особенностей голоморфных функций. Таким образом, твисторный формализм соединяет в себе различные аспекты, как квантовые, так и классические, той роли, которую, по-видимому, играют в физике комплексные числа. [31]
Чтобы провести это сравнение дальше рассмотрим, следуя Хит-чину, случай 17 ( 1) - юнополей на гиперболическом пространстве, Для них связность плоская, а поле Хиггса равно константе г. Это соответствует тривиальному линейному расслоению на S 4 ( или на твисторном пространстве Р) со стандартным 5 -действием. [32]
Твис торная программа Пенроуза состоит в том, чтобы, пользуясь твисторным соответствием, переводить конформно инвариантные поля ( т.е. решения конформно инвариантные уравнений), заданные на подмножествах комплексного пространства Минковского, в объекты комплексной алгебраической геомегрии ( такие, как голоморфные расслоения, когошлогш с коэффициентами в аналитических пучках), определенные на подмножествах твисторного пространства РТ. В работах Пенроуза и других авторов, представленных в сборнике / 3 /, эта программа была реализована для калибровочных полей, т.е. решений линейных безмассовых уравнений на пространстве Минковского. Здесь мы покажем, как твис торный метод работает для нелинейных уравнений Янга - Мидлса и двумерных 6 -мод елей. [33]
Результирующая деформация твисторного пространства называется конструкцией нелинейного гравитона ( Пенроуз [35]), а соответствующее пространство-время автоматически является правоплоским. [34]
Это твисторное пространство можно представлять себе как прямую сумму спинового и дуального спинового пространств. Однако, строго говоря, разложение твисторного пространства в прямую сумму зависит от выбора конформной нормировки. [35]
Само твисторное пространство Та рассматривается как более фундаментальный объект, чем пространство-время. Понятие события же выводится из структуры твисторного пространства. [36]
В действительности построенное выше скалярное произведение Za и W есть просто комплексифи-кация ZaZa, когда Za становится независимым от Za. Это приводит к понятию ковариантной производной и кривизны асимптотического твисторного пространства. Кэлерова кривизна может быть вычислена явно в терминах величин, связанных с кривизной асимптотического пространства-времени. [37]
Существует тесная связь между описанной здесь конструкцией и теорией твисторов. Пространство [ дуально - ] твисторных линий на СЗГ позволяет определить [ дуальное ] проективное асимптотическое твисторное пространство для Jt. Дуально - ] твисторные линии - это а-кривые [ или р-кривые ] введенные в гл. [38]
Один из главных побудительных мотивов развития теории тви-сторов состоит в том, что она дает математическое описание физики, которое базируется целиком на комплексной структуре; при этом геометрия четырехмерного пространства-времени и кванто-вомеханический принцип суперпозиции возникают как тесно связанные аспекты этой комплексной твисторной структуры. Электромагнитное и гравитационное взаимодействия естественным образом описываются с помощью двух типов деформаций этой структуры исходного твисторного пространства. Далее, имеется общая схема классификации лептонов и адронов в терминах пар и троек твисторов соответственно. Это составляет часть программы по описанию квантовомеханических взаимодействий между частицами, направленной на построение всеобъемлющей твисторной версии квантовой теории поля. [39]
Но, по-видимому, это определение не согласуется с той структурой, которой мы желаем наделить твисторное пространство. [40]
Здесь Т - твисторное пространство Пенроуза, М - компактная комплексная модель пространства Минковского; она содержит одновременно вещественное пространство Минковского, пополненное бесконечно удаленным световым конусом, и евклидово сечение S4, пополненное бесконечно удаленной точкой. Плоская 2-конформная структура определяется проекцией F F ( l, 2; T) - L F ( l, T) CP3; здесь L - проективное твисторное пространство. [41]
Однако происходящее при этом изменение фаз твисторов приводит ( в пространственно-временной интерпретации) к появлению связности на М, индуцированной электромагнитным потенциалом. Оказывается, эта связность соответствует тому же электромагнитному полю ( или волновой функции), которое получается контурным интегрированием, но теперь мы можем считать, что она описывает фотон в активной функции, поскольку описание в твисторном пространстве включает в себя форму взаимодействия фотона. [42]
Подход, который я здесь предлагаю, допускает состояние ровно из одного гравитона, причем его описание учитывает как кривизну, так и нелинейность теории Эйнштейна. Хотя я понимаю, что единственным оправданием указанного подхода могут служить его собственные достоинства, тем не менее он получает неожиданную поддержку с другой стороны - благодаря поразительному математическому результату, который позволяет построить произвольный нелинейный гравитон указанного типа в терминах искривленного твисторного пространства, используя одну голоморфную функцию трех комплексных переменных. Таким образом, этот подход естественно укладывается в общую твисторную программу ( [1] - [3]) описания квантованных полей. [43]
Твистор ( простейшего типа), по существу, можно представлять себе классически как безмассовую частицу в свободном состоянии; при этом частица может обладать внутренним спином, а также фазой, которая может быть реализована как своего рода плоскость поляризации. Такие твисторы образуют 8-мерное вещественное многообразие, которое обладает естественной структурой 4-мерного комплексного векторного пространства. Это векторное пространство ( твисторное пространство) в действительности заменяет пространство-время в качестве основы описания физических явлений. Точки пространства-времени восстанавливаются при этом по твисторному пространству ( они отвечают определенным линейным подпространствам), но являются вторичным понятием по отношению к твисторам. Более того, ожидается, что при совместном рассмотрении общей теории относительности и квантовой теории понятие точки пространства-времени потеряет точный смысл. [44]
Отметим, что если твисторы Ха и Z изотропны и пересекаются, то твистор Y тоже будет изотропным. В действительности всякому двумерному подпространству твисторного пространства Та может быть сопоставлена определенная точка пространства Минковского. Вообще говоря, это будет точка ко мплексифщиро ванного пространства Минковского СМ, поскольку вектор г, определяемый соотношением (6.2.15), не будет действительным, если только твисторы Ха и Z не изотропны и не ортогональны. Подробно о геометрии такого пространства говорится в гл. [45]