Cтраница 1
Вариация интеграла и теперь также может быть выполнена путем варьирования р /, как и в § 65, причем следует оставить в силе условие, что положения, получающиеся в результате виртуальных перемещений, проходятся точками системы одновременно с действительными положениями и что Р, как функции одного только времени не участвуют в вариации. [1]
Вариацию интеграла 5 легко вычислить, пользуясь найденными выше выражениями для вариации плотности. [2]
Эта вариация интеграла должна быть равна нулю согласно принципу возможных перемещений. [3]
Исчезновение вариации интеграла не есть, однако, достаточное условие того, чтобы путь между конечными положениями был кратчайшим; для этого необходимо, чтобы его вторая вариация была существенно положительной. Для достаточно близких соседних положений пути это условие всегда выполняется. [4]
Вычислим вариацию интеграла ( 29); вычисление это совершенно аналогично выполненному в I, 5, поэтому теперь можно проводить его с меньшей подробностью. [5]
Вследствие этого вариация интеграла 5 будет равна нулю, откуда заключаем, что 5 будет иметь минимум. [6]
Равенство нулю вариации интеграла, однако, не является достаточным условием того, чтобы путь между двумя конечными положениями был кратчайшим. [7]
В вычислении вариации интеграла с) Софи Жермен допустила, однако, ошибку и в связи с этим найти правильное уравнение ей не удалось. [8]
При вычислении вариации интеграла действия мы стояли на первой точке зрения, сообразно чему вид функций g не варьировался. [9]
Индекс второй вариации интеграла энергии на линейном многообразии JU 0 равен индексу второй вариации эффективного потенциала. [10]
На самом деле вариация интеграла может обращаться в нуль и в том случае, когда интеграл не допускает ни наибольшего, ни наименьшего значения, но геометры обычно говорят и в этом случае о минимуме или максимуме, без сомнения, для простоты изложения, и мы будем в этом, следовать их примеру. [11]
Обращение в нуль вариации интеграла А требует обращения в нуль вариации и в том случае, когда она записана в новых координатах. Следовательно, дифференциальные уравнения Эйлера - Лагранжа остаются справедливыми и в новой системе отсчета. Функция Лагранжа L и интеграл действия А являются инвариантами преобразования. Мы просто подставляем в них вместо координат qi их выражения через новые переменные / функции L в результате замены переменных, возможно, изменится, но ее численное значение останется прежним. Аналогично остаются неизменными значения интеграла действия А, взятого вдоль кривой С и затем вдоль кривой С. [12]
Отсюда ясно, что вариация интеграла равняется интегралу вариации. [13]
Кроме того, на вариацию интеграла накладывалось еще одно условие, состоящее в том, что при варьировании траектории изображающей точки время t не варьировалось. В частности, моменты времени, соответствующие начальной и конечной точкам траектории, оставались при всех вариациях неизменными, и поэтому полное время движения являлось для всех траекторий одним и тем же. [14]
Из предыдущего известно, что вариация интеграла А равна нулю при варьировании с фиксированными граничными значениями, и содержит только граничный член, если граничные значения варьируются ( см. гл. [15]