Cтраница 2
Полученное уравнение показывает, что вариация интеграла с фиксированными пределами равна интегралу вариации подынтегрального выражения. [16]
Здесь проверкой служит то, что вариация интеграла от L дает для U в первом приближении уравнение Лапласа, как это и должно быть. [17]
Дифференциальное уравнение, выражающее, что вариация интеграла J ds равна нулю, как известно, доказывает, что соприкасающаяся плоскость кривой в каждой точке нормальна к поверхности. [18]
Таким образом, требованию обращения в нуль вариации интеграла в этом случае удовлетворяет любая функция у ( х) и экстремальная задача теряет смысл. [19]
Посмотрим, однако, как будет себя вести вариация интеграла действия, если мы не выполним условия варьирования при фиксированных граничных значениях, а проварьируем также и граничные значения координат. Из интегрирования по частям при преобразованиях вариации определенного интеграла [ см. (2.10.4) ] видно, что варьирование на концах интервала вызывает появление граничного члена. [20]
Посмотрим, как варьирование р - влияет на вариацию интеграла действия. [21]
Однако, поскольку вариации p - t не влияют на вариацию интеграла действия, можно расширить формулировку первоначального вариационного принципа и утверждать, что интеграл действия принимает стационарное значение даже и при произвольных вариациях pt, когда pi рассматриваются как вторая система независимых переменных. [22]
У Эйлера здесь еще нет того простого и изящного метода вычисления вариации интеграла посредством интегрирования по частям, который впоследствии ввел Лагранж; вместо этого вычисляются конечные разности при помощи ссылки на фигуры, без общего алгоритма. [23]
В работе Гу Чао-хао и Су Бу-цина [19] найдена - первая а вторая вариации интеграла (3.1) для ареального Пространства со связностью, удовлетворяющей некоторым условиям, а в последующих работах Су Бу-цина ( 129 - 132 ] эти условия обновляются так, что указанные вариации принимают наиболее простой вид. Этим условиям удовлетворяют связности Картана в геометрии Финслера и в пространстве с гиперареальной метрикой. [24]
Мы уже условились говорить о минимуме или максимуме интеграла в том случае, когда вариация интеграла обращается в нуль. Для этого необходимо, чтобы вариация была интегрируема и чтобы этот интеграл был равен нулю. Мы воспользуемся этим замечанием, чтобы немного обобщить некоторые утверждения, относящиеся к проблеме изопериметров. Мы будем говорить, что при превращении вариации в нуль будет иметь место не минимум или максимум интеграла, а что эта вариация становится интегрируемой. [25]
Еще Якоби показал, что если первая вариация простого определенного интеграла равна нулю, то вторая вариация интеграла может быть приведена к виду, удобному для исследования. [26]
Еще Якоби) показал, что если первая вариация простого определенного интеграла равна нулю, то вторая вариация интеграла может быть приведена к виду, удобному для исследования. [27]
Достаточные условия устойчивости выделенных стационарных движений получаются по теореме Рауса-Ляпунова как условия знако определенности квадратичной формы - второй вариации интеграла К в окрестности исследуемого движения при постоянных значениях интегралов V Для получения достаточных условий используется модифицированный критерий Сильвестра. Программа, поиска первых интегралов - выявляет их все исследованием производных от лагранжиана по обобщенным координатам При обращении одной из них в нуль, соответствующий интеграл выводится на печать Найденные интегралы позволяют составить систему уравнений для определения стационарных движений. [28]
Следует отметить еще работу Л. Е. Евтушика [22], в которой с помощью лиева дифференцирования найдена инвариантная форма первой и второй вариации интеграла ареальной метрики, зависящей от производных первого и второго порядка. [29]
Показать, что при переходе от какой-нибудь такой кривой АВ к бесконечно близкой кривой А В, лежащей на поверхности, вариация интеграла по-прежнему определяется формулой Тэта и Томсона. [30]