Cтраница 4
Последний интеграл является граничным членом, не зависящим от способа варьирования, поскольку варьирование производится при фиксированных граничных значениях. Поэтому обращение в нуль вариации канонического интеграла, записанного в первоначальных переменных, гарантирует обращение в нуль вариации канонического интеграла в новых переменных. [46]
До сих пор при определении первой вариации мы предполагали, что промежуток или область интегрирования не меняются. Сейчас мы будем считать, что близкие кривые у ( х, а) содержат параметр а любым образом, причем при а 0 получается основная кривая у ( х) у ( х, 0), для которой мы и вычисляем вариацию интеграла. [47]
До сих пор при определении первой вариации мы предполагали, что промежуток или область интегрирования не меняются. Сейчас мы будем считать, что близкие кривые у ( х, а) содержат параметр я любым образом, причем при а 0 получается основная кривая у ( х) у ( х, 0), для которой мы и вычисляем вариацию интеграла. [48]
Вряд ли все эти аксиомы можно считать всеобщими аксиомами познания, но для классической механики они безусловно имеют смысл. Это значит, что вариационные принципы механики заключают в себе - в своем содержании и математической форме - указанные аксиомы. Обобщение принципа причинности также приводит к дальнейшему обобщению принципа действия. Таким образом, исключается какая-либо возможность телеологической точки зрения. Впрочем, телеология должна быть отброшена уже потому, что принципы действия являются не минимальными, а вариационными принципами. Они утверждают только, что вариация интеграла равна нулю в том случае, когда зависимые переменные получают малое изменение, подчиненное некоторым граничным условиям, или, более строго, эта вариация есть величина бесконечно малая второго порядка. Когда выполняются условия минимума, вариационное условие также выполняется, но обратное не имеет места. Действительный минимум интеграла действия получается в том случае, когда взят достаточно короткий участок пути. [49]
При этом все другие параметры, как, например, скорости, должны быть получены из этих обобщенных координат. Таким образом, принцип, оставаясь механическим по своему происхождению, охватывает другие области физики. Первостепенную роль в этом расширении сферы действия принципа играет аналогия, ибо хотя по содержанию обобщенные координаты могут существенно отличаться от координат механики х, у, г, но формы связи их между собой и скоростями их изменений совпадают с соответствующими формами механики. В сущности, значение принципа Гамильтона в классической неполевой физике сводится к весьма простому обстоятельству. Исследуется какая-либо физическая система, о которой a priori нельзя утверждать, что она удовлетворяет уравнениям Лагранжа. Непосредственно подставлять значения соответствующих функций в эти уравнения не всегда можно: во-первых, часто трудно подобрать соответствующий вид функции, а во-вторых, неясно, будут ли она удовлетворять этим уравнениям. Поэтому на сцену выступает принцип Гамильтона. Если удастся параметры такой системы привести к виду функции L и если эта функция обратит в нуль вариацию интеграла Гамильтона, то тогда, введя эту функцию в уран-нения Лагранжа, можно динамически определить систему. [50]