Cтраница 3
Однако полная система уравнений переходит в соответствующую систему в новых переменных 1, потому что полная система уравнений Лагранжа отражает факт обращения в нуль вариации интеграла действия А, а этот факт не зависит от какой-либо конкретной системы координат. [31]
Благодаря этому свойству интеграл действия для атома обращается в нуль, как это происходит и для полной системы, и, что наиболее важно, вариация атомного интеграла действия приводит к тому же результату, что и вариация интеграла действия для полной системы. Таким образом, если в качестве вариационного ограничения при распространении квантового принципа действия на открытие системы принимается это свойство нулевого потока Vp через поверхность системы, получают тот же принцип стационарного действия для атома в молекуле [2], что и получаемый при вариации интеграла действия для полной системы [6], Следовательно, свойства атома определяются тем же принципом, что и свойства полной изолированной системы, частью которой он является. [32]
Следовательно, можно найти действительное движение, если искать такое допускаемое связями движение, для которого интеграл 3 имеет максимум или минимум, так как для нахождения такого движения нужно как раз приравнять нулю вариацию интеграла Q. Это, однако, не значит, что действительное движение обязательно обращает интеграл Q в максимум или минимум. Дарбу показал, что если U не содержит t, то интеграл 3 будет иметь минимум для действительного движения при условии, что t - ta достаточно мало. [33]
Благодаря этому свойству интеграл действия для атома обращается в нуль, как это происходит и для полной системы, и, что наиболее важно, вариация атомного интеграла действия приводит к тому же результату, что и вариация интеграла действия для полной системы. Таким образом, если в качестве вариационного ограничения при распространении квантового принципа действия на открытие системы принимается это свойство нулевого потока Vp через поверхность системы, получают тот же принцип стационарного действия для атома в молекуле [2], что и получаемый при вариации интеграла действия для полной системы [6], Следовательно, свойства атома определяются тем же принципом, что и свойства полной изолированной системы, частью которой он является. [34]
Если, следовательно, рассматривать вопрос в самом общем виде, так что в отдельных точках кривой оба переменных х и у получают вариации произвольные и не связанные между собой никаким законом, то не может случиться, чтобы вариация, относящаяся ко всей кривой, не зависела одновременно от всех промежуточных вариаций, так что, если их менять, должна меняться также вариация, относящаяся ко всей кривой в целом. Этим вариация интегралов сильнейшим образом отличается от вариации такого рода выражений, какие мы рассматривали в предыдущей главе: последние зависят только от вариаций в данном бесконечно малом элементе. [35]
Используем теперь тот же принцип, полагая, что р не варьируется. Тогда вариация интеграла действия по А должна равняться нулю. [36]
Эти дифференциальные уравнения являются необходимыми условиями для исчезновения вариации интеграла. Всякий геодезический путь удовлетворяет этим же уравнениям, следовательно, это есть искомое решение задачи. [37]
Чтобы оправдать это утверждение, заметим прежде всего, что из 85 0 следуют уравнения ( 31), потому что 8S обращается в нуль при всяком возможном выборе Ър ( и 8), что несомненно оправдывается, в частности, когда вариациям 8р приписываются те значения в виде линейных функций от 87, 87, которые выводятся из уравнений, определяющих обобщенные количества движения. Заметим, далее, что в то время как в обычном понимании вариация интеграла 5 геометрически истолковывается как происходящая от бесконечно малого. [38]
Если свет проходит через среду, оптическая плотность которой непрерывно изменяется ( например земная атмосфера), то траектория луча будет кривой линией. Для определения этой линии надо, согласно правилам вариационного исчисления, исследовать вариацию интеграла J v ds, где v - преломляющая сила среды, a ds - элемент траектории; пределы интегрирования фиксированы. [39]
А плюс произвольная постоянная. Так как знаки вариации и интеграла можно менять местами, то правую часть можно представить в виде вариации интеграла от функции А плюс постоянная. [40]
Поэтому из равенства нулю интеграла в уравнении ( 113) еще нельзя заключить, что подынтегральная функция равна нулю. Чтобы удовлетворить дополнительному условию, воспользуемся опять Лагранжевым методом неопределенных множителей, который был изложен на страницах 1 19 и 120 для случая обращения в нуль вариации суммы и без труда может быть перенесен на вариацию интеграла как предела суммы. [41]
Последний интеграл является граничным членом, не зависящим от способа варьирования, поскольку варьирование производится при фиксированных граничных значениях. Поэтому обращение в нуль вариации канонического интеграла, записанного в первоначальных переменных, гарантирует обращение в нуль вариации канонического интеграла в новых переменных. [42]
Мы лишь вкратце покажем, как эта теория связана с квантовой механикой и как такая связь позволяет дать определение средних значений атомных свойств. Атом является открытой квантовой системой, допускающей обмен зарядом и импульсом с соседними атомами. Такие системы можно описать, распространив вариацию квантовых интегралов действия на открытую систему. [43]
К авагути и Тандаи, указанных выше, коэффициенты связности определялись как решения некоторой системы линейных уравнений, а их выражения непосредственно через метрическую функцию не давались, то в работах Дейвиса [80, 81] получены эти выражения для коэффициентов Г с помощью ряда новых условий в случае пространства субметрического класса методом соприкасающихся римановых пространств. Эта связность использована им для отыскания второй вариации интеграла соответствующей вариационной задачи и упрощения уравнений минимальных поверхностей. [44]
Его бессмысленно выделять в дивергенцию ( здесь: дифференциал), так как интегрирование проводится по У, а не по и. Вместе с тем они произвольны, а равенство нулю вариации интеграла действия не должно зависеть от конкретного выбора йж 4, обращающихся в нуль на границах; точно так же и уравнения, следующие из принципа экстремума действия при конкретных выборах бж, выполняются универсально и не зависят от 8х, что совершенно естественно. [45]