Cтраница 2
Всякое подпространство отделимого пространства отделимо. Обратно, если всякая точка топологического пространства Е обладает замкнутой окрестностью, являющейся его отделимым подпространством, то Е отделимо. Произведение любого семейства отделимых пространств отделимо. [16]
Пусть X - отделимое пространство и Г - множество все фильтров в X, обладающих базисом из открытых множеств и не имеющих ни одной точки прикосновения в X. Показать, что множество Г, если оно не пусто ( иначе говоря, если X не абсолютно замкнуто), индуктивно. [17]
Пусть X - отделимое пространство, каждая точка которого обладает фундаментальной системой открыто-замкнутых окрестностей, У - подпространство пространства X и А - - компактное множество в У, открыто-замкнутое относительно У. Показать, что в X существует множество В, открыто-замкнутое относительно X и такое, что В П УА. [18]
Для того чтобы отделимое пространство было экстремально несвязным, необходимо и достаточно, чтобы ассоциированное полурегулярное пространство ( § 8, упражнение 20) обладало тем же свойством. [19]
Пусть X - отделимое пространство, всякая точка которого имеет окрестность, являющуюся экстремально несвязным подпространством. [20]
Пусть Е - отделимое пространство и R - замкнутое отношение эквивалентности в Я такое, что лсякий класс эквивалентности по Л компактен. [21]
Пусть Е - отделимое пространство и Л - - замкнутое отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалентности по R компактен. [22]
Для того чтобы отделимое пространство, ассоциированное с Coker p, было изоморфно сильному сопряженному к Cokcr а, необходимо и достаточно, чтобы Кег у было замкнуто. Известен пример, когда Кег у не замкнуто. [23]
Пусть X - нерегулярное отделимое пространство, F - замкнутое множество в X и a ( jt F - точка из X, обладающая тем свойством, что любая ее окрестность пересекается со всякой окрестностью множества F. Пусть R - отношение эквивалентности, полученное отождествлением друг с другом всех точек из F. Показать, что R замкнуто и его график замкнут в XXX, но X / R неотделимо. [24]
Пусть X - универсальное отделимое пространство, ассоциированное с X ( § 8, упражнение 27); показать, что каноническое отображение if: Х - Х сюръективно и X компактно. [25]
Показать, что счетное отделимое пространство, определенное в упражнении 21в § 9, связно. [26]
Если Y - полное отделимое пространство и X - всюду плотное его подпространство, то каноническая инъекция Х - У продолжается до изоморфизма X на У. [27]
Для того чтобы метрическое отделимое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем каждая последовательность Коши была сходящейся. [28]
КЛЕТОЧНЫЙ КОМПЛЕКС - отделимое пространство X являющееся объединением непересекающихся клеток. [29]
Всякое постоянное отображение отделимого пространства замкнуто. [30]