Cтраница 3
В частности, в отделимом пространстве всякое одноточечное множество замкнуто. [31]
Пусть Е и F - отделимые пространства, л - совершенное ( гл. [32]
Компактным множеством называется компактное подпространство отделимого пространства. Объединение двух компактных множеств компактно. [33]
Показать, что для минимальности отделимого пространства X необходимо п достаточно, чтобы всякий базис фильтра в X, состоящий из открытых множеств и имеющий по крайней мере одну точку прикосновения Убыл сходящимся, или, что то же, чтобы А было абсолютно замкнутым ( упражнение 19) и всякий базис фильтра в X, состоящий из открытых множеств и имеющий единственную точку прикосновения, сходился к этой точке. [34]
Другими словами, переход к ассоциированному отделимому пространству может быть выполнен либо до, либо после операции - ( см. Бур баки [ 2, стр. [35]
Примером последнего случая может служить всякое счетное отделимое пространство без изолированных точек; пространством такого тина является рациональная прямая Q. [36]
Пересечение любого непустого семейства компактных подмножеств отделимого пространства компактно. [37]
Вывести из а), что всякое раздробленное отделимое пространство Е, обладающее счетным базисом, есть сильно раздробленное метрнзуемое пространство. Используя предложение 13 § 2, показать, что существует счетный базис, состоящий из открыто-замкнутых множеств. [38]
Для того чтобы одноточечное множество х в отделимом пространстве Е было разрожонным, нообходимо и достаточно, чтобы х не было в Е изолированной точкой. Граница открытого ( или замкнутого) множества есть разреженное множество; однако граница произвольного множества - не обязательно разреженная. Всюду плотное множество не может быть разреженным. В числовом пространстве R всякое линейное многообразие размерности / г разреженное. [39]
Всякое биективное непрерывное отображение компактного пространства Е на отделимое пространство Е есть гомеоморфизм. [40]
Всякое непрерывное отображение f квазикомпактного пространства X в отделимое пространство X замкнуто; если, кроме того, f биективно, то f есть гомеоморфизм. [41]
Если каждый из сомножителей Хг - произведения X - отделимое пространство, то произведение X обладает тем же свойством. [42]
Если / - непрерывное отображение топологического пространства X в отделимое пространство X и R - отношение эквивалентности f ( x) f ( y), то факторпространство X / R отделимо. [43]
Если / - непрерывное отображение компактного топологического пространства X в отделимое пространство, то f ( X) компактно. [44]
Пусть () iin - конечное семейство попарно различных точек отделимого пространства X; тогда для каждого индекса i существует такая окрестность V ( точки х / в X, что множества V - ( l z n) попарно не пересекаются. [45]