Cтраница 1
Тихоновское пространство X компактно в том и только том случае, если каждое центрированное семейство функционально замкнутых множеств в X имеет непустое пересечение. [1]
Тихоновское пространство X вещественно полно в том и только том случае, если каждый счетно центрированный ультрафильтр на 2) о ( Х) имеет непустое пересечение. [2]
Тихоновское пространство X называется локально полным по Чеху, если у каждой точки х е X есть полная по Чеху окрестность. [3]
Каждое тихоновское пространство, уплотняющееся) на пространство X, вещественно полно. [4]
Рассмотрим теперь произвольное тихоновское пространство А, стоун-чеховская компактификация рА которого экстремально несвязна, и пусть U а X - любое открытое в X множество. [5]
Для произвольного тихоновского пространства X через С ( Х) ( через С ( Х)) обозначается кольцо всех непрерывных вещественных ( всех ограниченных непрерывных вещественных) функций на пространстве X. Идеалом в С ( Х) ( в С ( Х)) называется произвольное собственное подмножество А кольца С ( Х) ( кольца С ( Х)), такое, что если f, geA, то f g е А, и если / е А и g е С ( Х) ( если g e С ( Х)), то fg e A. Идеал А называется максимальным идеалом, если для каждого идеала А, содержащего А, имеет место равенство А А. [6]
Каждое счетно компактное тихоновское пространство псевдокомпактно. [7]
Каждое непустое экстремально несвязное тихоновское пространство сильно нульмерно. [8]
Свойство быть тихоновским пространством наследственно, поэтому если размерность dim для некоторого пространства X определена, то она определена и для каждого подпространства М d X. Чтобы доказать аналоги теорем 7.1.1 и 7.1.3 для размерности в смысле покрытий, потребуются некоторые свойства функционально замкнутых и функционально открытых множеств. Две теоремы о функционально замкнутых и функционально открытых множествах, которые мы сейчас докажем, будут часто применяться в дальнейшем. Аналогичные теоремы для нормальных пространств ( формулируемые в скобках) имеют место для всех замкнутых и всех открытых множеств. [9]
ДИАДИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО - тихоновское пространство, для к-рого существует бикомпактное расширение, являющееся диадическим бикомпактом. [10]
Пусть X - тихоновское пространство, не являющееся нормальным, и пусть А, В - два непересекающихся замкнутых подмножества пространства X, которые нельзя отделить непересекающимися открытыми множествами. Установите, что Х и Х2 суть Т - пространства и что fi и / 2 - замкнутые отображения, но диагональ fi Л / 2 не является замкнутой. [11]
Если Y - тихоновское пространство, то пространство Vх с компактно-открытой топологией тоже является тихоновским пространством. [12]
Пусть X - тихоновское пространство и существует его взаимно однозначное отображение на метризуемое пространство. Докажите, что тогда каждое семейство попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств пространства Rx с компактно-открытой топологией счетно. [13]
Пусть X - тихоновское пространство, для которого dimXs n, и М - подпространство пространства X, удовлетворяющее условию теоремы. [14]
Пусть X - тихоновское пространство; обозначим через С ( Х) семейство всех непрерывных вещественных функций, определенных на X, и через С ( Х) - подсемейство в С ( Х), состоящее из всех ограниченных функций. [15]