Cтраница 2
Пусть X - тихоновское пространство и GIL - равномерность, порожденная семейством всех покрытий пространства X, в которые можно вписать счетное нормальное покрытие ( см. упр. Докажите, что пространство, где ( Х, 1 () - пополнение пространства ( X, fyf), является вещественной компактификацией по Хьюитту пространства X ( ср. [16]
Покажите, что тихоновские пространства X и У, удовлетворяющие первой аксиоме счетности, гомеоморф-ны в том и только том случае, если компактифнкации Х и РУ гомеоморфны. [17]
Докажите, что тихоновское пространство X компактно в том и только том случае, если для каждого максимального идеала А в кольце С ( Х), или, что равносильно, для каждого максимального идеала А в кольце С ( Х), найдется точка х Х, такая, что условия f ( x) 0 и / е А эквивалентны. [18]
Покажите, что тихоновские пространства X и У, удовлетворяющие первой аксиоме счетности, гомеоморфны в том и только том случае, если кольца С ( Х) и С ( У), или, что равносильно, кольца С ( Х) и С ( У), изоморфны. [19]
Покажите, что тихоновское пространство X компактно в том и только том случае, если каждый нетривиальный линейно-мультипликативный функционал на С ( X) определяется некоторой точкой. [20]
Покажите, что тихоновское пространство X вещественно полно в том и только том случае, если каждый нетривиальный линейно-мультипликативный функционал на С ( Х) определяется некоторой точкой. [21]
Пусть X не нормальное тихоновское пространство, определенное в примере 3.6.19. В пространстве X есть непересекающиеся замкнутые множества А и В, которые нельзя отделить непересекающимися открытыми множествами. [22]
Определим теперь счетно компактные тихоновские пространства X и У, такие, что произведение XX Y не счетно компактно. [23]
Покажите, что непустое тихоновское пространство X сильно нульмерно в том и только том случае, если каждое функционально замкнутое подмножество пространства X можно представить в виде пересечения счетного семейства открыто-замкнутых множеств. [24]
Приведите пример не нормального тихоновского пространства, представимого в виде объединения счетного семейства открытых нормальных подпространств, граница каждого из которых линделефова. [25]
Приведите пример не нормального тихоновского пространства, которое счетно паракомпактно. [26]
Стоун-чеховская компактификация Х тихоновского пространства X связна в том и только том случае, если пространство X связно. [27]
Стоун-чеховская компактификация J тихоновского пространства X сильно нульмерна в том и только том случае, если пространство X сильно нульмерно. [28]
Стоун-чеховская компактификация Х тихоновского пространства X экстремально несвязна в том и только том случае, если пространство X экстремально несвязно. [29]
Пусть Z - не нормальное тихоновское пространство, которое счетно паракомпактно. Возьмем любые непересекающиеся замкнутые множества А, В в Z, не отделимые непересекающимися открытыми множествами ( см. упр. [30]