Cтраница 1
Бикомпактные пространства образуют мультипликативный класс. [1]
Всякое бикомпактное пространство сильно пара-компактно. [2]
Всякое бикомпактное пространство, очевидно, локально бикомпактно. С другой стороны, существуют локально бикомпактные, но не бикомпактные пространства. [3]
Всякое бикомпактное пространство, очевидно, компактно. С другой стороны, нетрудно видеть, что всякое компактное пространство не более чем счетного веса-бикомпактно. Таким образом в классе пространств не более чем счетного веса компактность совпадает с бикомпактностью. [4]
Всякое бикомпактное пространство без изолированных особых точек ( в частности, всякое бикомпактное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности) содержит совершенное множество. [5]
Локально бикомпактные пространства могут быть определены, во-первых, как множества, получаемые вычитанием одной точки из бикомпактов, во-вторых, как открытые множества, лежащие в бикомпактах. [6]
Назовем бикомпактными пространствами пространства R, удовлетворяющие какому-нибудь одному ( и, следовательно, всем трем) из указанных свойств. [7]
Всякое локально бикомпактное пространство, которое само не является бикомпактным, может быть, и притом единственным способом, присоединением одной точки превращено в бикомпакт. [8]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6. Локально бикомпактное пространство является пространством Келлч. [9]
X есть локально бикомпактное пространство. [10]
Каждое непрерывное отображение бикомпактного пространства на хаусдорфово пространство замкнуто. [11]
В хаусдорфовом локально бикомпактном пространстве X для каждой окрестности U бикомпактного множества А ( в частности, любой точки) найдется окрестность V множества А, замыкание которой бикомпактно и содержится в U. Другими словами, всякое бикомпактное множество А обладает фундаментальной системой бикомпактных окрестностей. [12]
Ясно, что всякое бикомпактное пространство локально бикомпактно, тогда как уже числовая прямая IR1, будучи локально бикомпактным пространством, не является бикомпактным. Столь же очевидно, что всякое дискретное пространство X локально бикомпактно, тогда как оно бикомпактно лишь в том случае, когда оно состоит из конечного числа точек. [13]
Ясно, что всякое бикомпактное пространство заведомо параком-пактпо, ибо конечное подпокрытие является как вписанным, так п локально конечным. Следующие примеры показывают, что пара-компактные пространства совсем не обязаны быть бикомпактными. [14]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.4. Замкнутое подмножество бикомпактного пространства бикомпактно. [15]