Cтраница 3
Как мы уже знаем, непрерывный образ бикомпактного пространства бикомпактен, однако оказывается, что непрерывный образ локально бикомпактного пространства, вообще говоря, не локально бикомпактен. В этой связи представляет интерес следующее предложение. [31]
Поскольку каждое из Ха является образом локально бикомпактного пространства X при отображении проектирования ра: Х - Ха, являющегося открытым отображением п ха-усдорфово пространство Ха, то в силу предложения 4.4 заключаем, что каждое из Ха локально бикомпактно. ЦХа, а U - окрестность этой точки в X, замыкание которой U бикомпактно. A a и совпадают с Ха при всех индексах а, кроме, быть может, конечного их числа. [32]
Пусть /: X-Y - непрерывное отображение бикомпактного пространства X па произвольное пространство Y, а Т - V - / - некоторое открытое покрытие Y, тогда система S L / - множеств U - - / ( V) образует покрытие X, которое в силу непрерывности / будет открытым покрытием. [33]
Замечание 3.4. Всякая бесконечная последовательность точек хп бикомпактного пространства X имеет хотя бы одну предельную точку. [34]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.4. Хаусдорфоао пространство, являющееся образом локально бикомпактного пространства при открытом отображении, локально бикомпактно. [35]
Бесконечное множество X, наделенное топологией Зарнсского, является бикомпактным пространством, хотя, как мы уже знаем, оно не хаусдорфово. [36]
Первоначально такие пространства назывались бикомпактными, а компактными пространствами назывались метрические бикомпактные пространства. Однако в последнее время в литературе предпочитают бикомпактные пространства называть просто компактными пространствами. [37]
Отсюда непосредственно следует, что всякое непрерывное и взаимнооднозначное отображение бикомпактного пространства в хаусдорфово-пространство является топологическим. [38]
Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локально бикомпактные пространства. [39]
В § 5 теоремы Граева о задании свободной топологии группы над бикомпактным пространством доказываются для произвольных алгебр. Кроме того, в § 5 явно указывается свободная топология алгебр с локально компактным порождающим пространством. Последний результат является, по-видимому, новым и для топологических групп. [40]
Всякое бикомпактное пространство без изолированных особых точек ( в частности, всякое бикомпактное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности) содержит совершенное множество. [41]
Примеры бикомпактных пространств с изолированными особыми точками элементарны; можно построить пример бикомпактного пространства с совершенным множеством особых точек. [42]
Мы уже доказали установленную в 1923 г. П. С. Александровым и П. С. Урысоном теорему о нормальности хаусдорфова бикомпактного пространства. Этот пункт посвящен доказательству одной из основных теорем, теории паракомпактных пространств, а именно теоремы Дьедоппе о нормальности любого хаусдорфова параком-пактпого пространства, доказанную им в 1944 г. Этой теореме мы предпошлем одно вспомогательное утверждение, которое оказывается полезным и при установлении других глубоких свойств паракомпактных пространств. [43]
Основной результат П. С. Александрова [4] о локально бикомпактных пространствах дает возможность сводить рассмотрение любого локально бикомпактного пространства Хаусдорфа к рассмотрению некоторого бикомпакта. Этот бикомпакт получается из первоначального, пространства посредством присоединения одной новой точки. Частным случаем этого процесса является присоединение одной бесконечно удаленной точки к локально бикомпактной, но не бикомпактной плоскости комплексной переменной, в результате чего получается бикомпактная гауссова сфера. [44]
Для существования одноточечной бикомпактификаиии пространствах необходимо и достаточно, чтобы X было хаусдорфовым локально бикомпактным пространством. В этом случае одноточечная бикомпактифика - иия X существенно единственна. [45]