Cтраница 2
Если возможно непрерывное отображение бикомпактного пространства Хна пространство Y, то Y также бикомпактно. [16]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Замкнутое подмножество локально бикомпактного пространства само локально бикомпактно. Пусть X локально бикомпактно, а / И - его замкнутое подмножество. Ua - такая ее открытая окрестность, что Ua бикомпактно. Докажем, что открытая в / И окрестность V0 - - - M ( ] U0 точки х такова, что се замыкание в / И ( что, очевидно, совпадает с замыканием 1 / в X) бикомпактно. [17]
Всякое непустое совершенное множество локально бикомпактного пространства имеет мощность, не меньшую, чем мощность континуума. [18]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.10. Непрерывное отображение f бикомпактного пространства X в хаусдорфово пространство Y есть отображение замкнутое. [19]
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.12. Счетное в бесконечности локально бикомпактное пространство паракомпактно. [20]
Пусть R - регулярное, не бикомпактное пространство. Докажем, что оно не является абсолютно замкнутым. [21]
ТЕОРЕМА 3.11. Непрерывное взаимно-однозначное отображение f бикомпактного пространства X на хаусдорфово пространство У есть гомеоморфизм. [22]
Основной результат П. С. Александрова [4] о локально бикомпактных пространствах дает возможность сводить рассмотрение любого локально бикомпактного пространства Хаусдорфа к рассмотрению некоторого бикомпакта. Этот бикомпакт получается из первоначального, пространства посредством присоединения одной новой точки. Частным случаем этого процесса является присоединение одной бесконечно удаленной точки к локально бикомпактной, но не бикомпактной плоскости комплексной переменной, в результате чего получается бикомпактная гауссова сфера. [23]
Всякое совершенное множество, лежащее в бикомпактном пространстве R, имеет мощность, не меньшую, чем мощность континуума. [24]
Таким образом, оказывается, что нелокально бикомпактное пространство нельзя собственно отобразить в локально бикомпактное. [25]
Поскольку, как мы знаем, всякое бикомпактное пространство локально бикомпактно и паракомпактно, то это утверждение непосредственно следует из доказанного предложения. [26]
Пусть R не бикомпактное, но локально бикомпактное пространство. [27]
Заметим, что если R есть локально бикомпактное пространство, то можно, вообще говоря, многими способами дополнить его присоединением одной точки до абсолютно замкнутого пространства. [28]
Непосредственно из определения ясно, что каждое бикомпактное пространство счетно-компактно, между тем как счетно-компактное пространство может и не быть бикомпактным, как это видно из следующего примера. [29]
Непосредственно из определения следует, что всякое бикомпактное пространство финально компактно, однако, как это будет выяснено ниже, евклидов. Вместе с тем, очевидно, что если пространство одновременно финально компактно и счетно компактно, то оно бикомпактно. [30]