Cтраница 2
Приведите пример метризуемого пространства, которое можно представить в виде объединения двух замкнутых сильно паракомпактных подпространств, но которое само не сильно паракомпактно. [16]
Всякая точка метризуемого пространства обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. [17]
Приведите пример метризуемого пространства, которое нельзя вложить в локально компактное метризуемое пространство. [18]
Приведите пример метризуемого пространства веса с, не являющегося локально сепарабельным ни в какой точке. [19]
Пусть Е - метризуемое пространство, R - замкнутое отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалентности по R компактен. [20]
Пусть F - метризуемое пространство, А - его подмножество, которое, как и его дополнение, всюду плотно. [21]
Обратно, если метризуемое пространство f u ( X, R) есть пространство счетного типа, то X метризуемо. [22]
Так как каждое метризуемое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, то пространство Л ( т) с т К0 является примером неметризуемого пространства. [23]
Полученное таким образом метризуемое пространство для фиксированного кардинала ш не зависит ( с точностью до гомеоморфизма) от выбора множества S. Легко видеть, что для каждого seS отображение / s отрезка / в / ( т), определенное формулой js ( x) [ ( x s) ], является гомеоморфным вложением. [24]
Покажите, что метризуемое пространство X - компакт в том и только том случае, когда каждая метрика на нем вполне ограничена, или, что равносильно, каждая метрика на нем ограничена ( ср. [25]
Докажите, что метризуемое пространство X является компактом в том и только том случае, когда каждая метрика на нем полна ( ср. [26]
Покажите, что метризуемое пространство X - абсолютно мультипликативного ( аддитивного) класса 0 в том. [27]
Пусть теперь X - метризуемое пространство, полное по Чеху. [28]
Докажите, что если метризуемое пространство У является непрерывным образом пространства X, метризуемого полной метрикой, при замкнутом отображении f, то У также метризуемо полной метрикой. [29]
Неизвестно, всякое ли раздробленное метризуемое пространство является сильно раздробленным. [30]