Cтраница 4
Теорема 8.8. Если пространство-время ( М, g) глобально гиперболично и времениподобно геодезически полно, то s: Т М - - R U оо непрерывна. [46]
Теорема 9.41. Пусть пространство-время ( М, g) глобально гиперболично и р, q - любая пара точек из ( М, g), связанных отношением р q и таких, что р и q непространственноподобно не сопряжены. Тогда в ( М, g) существует лишь конечное число направленных в будущее времениподобных геодезических из р в q, и функционал длины дуги L: С ( р, q) - R является гомотопической функцией Морса. Поэтому если Ь и а, Ь а, - любые два некритических значения функционала L, то пространство L 1 ( - оо, Ь) гомотопически эквивалентно пространству L 1 ( - оо, а) с приклеенной клеткой для каждой гладкой времениподобной геодезической у из р в q, для которой а L ( y) b, где размерность приклеенной клетки равна ( геодезическому) индексу у. К для каждой гладкой направленной в будущее времениподобной геодезической у из р в q индекса Я. [47]
Поскольку в ней пространство-время ( являющееся вместилищем для тел) четырехмерно, закон движения тела описывается четырьмя уравнениями. [48]
Таким образом, пространство-время, которое не является не-пространственноподобно полным, содержит времениподобную или изотропную геодезическую, которую нельзя определить для всех значений аффинного параметра. Такие пространственно-временные многообразия в общей теории относительности называют сингулярными. [49]
Рассмотрим таким образом пространство-время, отнесенное к четырем прямоугольным осям так называемого неподвижного наблюдателя. [50]
Тогда, если пространство-время ( М, g) имеет компактную поверхность Коши, то оно геодезически неполно. Поэтому для произвольных искривленных произведений усиление теоремы 2.53 за счет геодезической полноты ( как в теореме 2.54) невозможно. Космологические модели большого взрыва Робертсона-Уокера ( см. разд. [51]
Напомним, что пространство-время Робертсона - Уокера представляет собой искривленное произведение вида ( а, Ь) X / /, где Н - изотропное риманово многообразие ( см. разд. Пространства Робертсона - Уокера используются для построения космологических моделей, в которых за вещество берется идеальная жидкость. В этом случае векторное поле v задается в виде d / dt, и поэтому линиями тока жидкости являются кривые у ( t) - - - ( t, уа), где г / G И. Тензор энергии-импульса Г имеет требуемый вид ( В. [52]
Предположим, что рассматриваемое пространство-время с метрикой (6.3.1): 1) является асимптотически плоским, 2) обладает горизонтом событий и 3) не содержит сингулярностей, лежащих вне или на горизонте событий. [53]