Cтраница 3
Несобственные точки, которыми дополняется плоскость, принадлежат несобственной прямой, дополняющей ту же плоскость. [31]
Множество несобственных точек всех пересекающихся прямых плоскости представляет собой несобственную прямую этой плоскости. [32]
Линия - ранга 1, и значит, есть дважды взятая несобственная прямая. [33]
При е 0 эти уравнения превращаются в уравнение Z 0 несобственной прямой. [34]
Доказательство, а) Пусть рассматриваемая линия не содержит всей несобственной прямой. [35]
Первый состоит из пар собственных прямых, а второй образован дважды взятой несобственной прямой. [36]
Наконец, если кривая второго порядка ( ka) пересекает несобственную прямую и, то имеем случай гиперболы. Построив касательные к кривой k3 в точках Ри и Qu ее пересечения с прямой и, найдем полюс О прямой и. Точка О является по определению центром гиперболы. Касательные в несобственных точках Ри и Qu называются асимптотами. Центр О гиперболы есть, очевидно, внешняя точка ( черт. [37]
Проективное преобразование проективно-аффиипой плоскости называется проективно-аффинным, если оно отображает несобственную прямую на себя. [38]
Таким образом, каждый пучок параллельных плоскостей имеет своею осью вполне определенную несобственную прямую, и обратно, каждая несобственная прямая служит осью вполне определенного пучка параллельных плоскостей. Мы можем поэтому сказать, что несобственным прямым соответствуют в самом евклидовом пространстве наклоны плоскостей. [39]
Кривая называется эллиптической, если она не имеет общих точек с несобственной прямой. [40]
Таким образом, коллинеации, в которых несобственной прямой одной плоскости соответствует несобственная прямая другой, сохраняют без изменения простое отношение трех точек прямой. Но это значит, что указанные коллинеации являются аффинными. [41]
Найти все проективные преобразования проектив-ио-аффинной плоскости в системе однородных координат, при коюрых несобственная прямая дг30 инвариантна. [42]
Обратим внимание на те свойства кривых второго порядка, которые связаны с несобственной прямой. Прежде всего само подразделение кривых второго порядка на гиперболы, параболы и эллипсы основано на относительном положении кривой и несобственной прямой. Параболой называется такая кривая второго порядка, которая имеет одну несобственную точку или две совпавшие точки пересечения с несобственной прямой. Следовательно, парабола касается несобственной прямой. Наконец, эллипсом называется кривая второго порядка, не имеющая несобственных точек или общих точек с несобственной прямой. [43]
Первый состоит из овальных линий второго порядка, вовсе не пересекающихся с несобственной прямой, второй - из пересекающихся с ней в двух точках и третий - из касающихся несобственной прямой в одной точке. [44]
На аффинно-проективной плоскости эллипс и гипербола пересекают, как мы знаем, несобственную прямую в двух различных точках, а парабола - в одной. [45]