Cтраница 1
Вещественная прямая R и единичный отрезок / также мет-ризуемы: расстояние между двумя точками па них можно определить как абсолютное значение разности соответствующих чисел. Легко показать, что в § 1.1 мы определили открытые множества в R и I как объединения открытых шаров относительно указанных метрик. [1]
Вещественная прямая R с обычным порядком - пример множества, упорядоченного неиндуктивно. [2]
Отобразим вещественную прямую R X на двухточечное антидискретное пространство У 0, 1, поставив в соответствие 0 всем рациональным числам и 1 всем иррациональным числам. Легко показать, что это открытое отображение ( ср. [3]
Каждое подпространство вещественной прямой обладает счетной базой; значит, в силу 3.8.1 и 3.10.1, каждое счетно компактное подпространство вещественной прямой компактно. Применив 3.10.5 и 3.2.8, приходим к следующему утверждению. [4]
Определите подпространство вещественной прямой, являющееся объединением двух локально компактных подпространств, которое тем не менее не локально компактно. [5]
Значит - непустое подпространство вещественной прямой нульмерно, или, что равносильно ( по теоремам 6.2.7 и 3.8.1), сильно нульмерно в том и только том случае, если оно не содержит никакого интервала. В частности, множества рациональных чисел и иррациональных чисел нульмерны. Аналогично подпространство евклидова л-пространства R ( л-куба /, гильбертова куба / s), образованное всеми точками с иррациональными координатами, сильно нульмерно. [6]
Приступим теперь к описанию вещественной прямой. Указанное множество будем представлять себе не как некоторую статическую данность, а динамически - как объект, который постепенно возникает, формируется в некотором условном времени. [7]
Таким образом, исследование вещественной прямой со степенью разрешения МФЬ дает следующую картину. Во-первых, каждое вещественное число превращается из точки в скопление фундаментальных кофинитных чисел. В центре скопления находится ядро, которое окружено ореолом. Порядок, который есть для вещественных чисел, сохраняется и для их составляющих. Так, если для двух вещественных чисел a, J3 имеет место неравенство а / 3, то такое же неравенство будет иметь место и для любых составляющих этих чисел. [8]
Кп лежат на одной вещественной прямой, проходящей через точку О плоскости С по разные стороны от нуля. [9]
Пусть F задано на вещественной прямой, так что иррациональные числа отображаются в рациональные, а все рациональные - в одно рациональное; тогда система воспроизводима и стягивается в одну точку. [10]
Существует вещественная непрерывная на вещественной прямой функция, которая нигде не дифференцируема. [11]
Пусть Д - подмножество вещественной прямой, / и g - функции, определенные на А. [12]
Каждое открытое подмножество F вещественной прямой является объединением счетного числа непересекающихся интервалов. Мы оставляем доказательство этого факта читателю в качестве упражнения. [13]
Образует ли S базис вещественной прямой. [14]
Таким образом, на вещественной прямой не существует экзотических гладких структур. Для более сложных пространств ситуация иная. [15]