Изотропная прямая
Cтраница 2
Если представлять себе распространение света в пустом пространстве, как это делается в геометрической оптике, в виде движения частиц, то получим в пространстве Минковского опять-таки изотропные прямые. Световой сигнал в данной точке распространяется по полуобразующим изотропного гиперконуса, имеющего вершиной данную точку. Из (11.6) следует, что скорость материальной частицы не может превышать с и, следовательно, в случае скорости с четырехмерные траектории материальных частиц будут кривыми, касательные к которым в каждой точке пространства направлены внутрь этого конуса. [16]
Если отождествить У - с У так, как говорилось выше, то всякая изотропная геодезическая в пространстве ( VI приобретет топологию окружности S1, превратившись в изотропную прямую пространства М, замыкаемую в петлю единственной точкой на бесконечности. [17]
В качестве аналога проективной геометрии на сфере мы получаем, таким образом, некоторую геометрию плоскости, которую мы назовем геометрией обратных радиусов ] в ней простейшими инвариантными элементами являются окружности плоскости, ее изотропные прямые и угол меусду двумя направлениями. [18]
Из приведенных рассуждений следует, что через две точки, для которых ( х I х) ( у I у) - ], ( х I) 1, проходит одна и только одна изотропная прямая. [19]
В предшествующих параграфах было доказано, что движения представляют собой такие колли неации, которые преобразуют абсолютную инволюцию в себя; при этом мнимые круговые точки ( двойные точки) переходят в себя. Отсюда следует, что при всех движениях изотропным прямым будут соответствовать опять изотропные прямые. [20]
В предшествующих параграфах было доказано, что движения представляют собой такие колли неации, которые преобразуют абсолютную инволюцию в себя; при этом мнимые круговые точки ( двойные точки) переходят в себя. Отсюда следует, что при всех движениях изотропным прямым будут соответствовать опять изотропные прямые. [21]
Эти прямые обладают некоторыми замечательными свойствами, являющимися парадоксальными по сравнению со свойствами действительных прямых. О, то следует, что расстояние друг от друга двух произвольных собственных точек изотропной прямой равно нулю. Далее, обычно говорят, что всякая изотропная прямая сама себе перпендикулярна. [22]
В этом случае редукция не может быть продолжена. Мы имеем de1 ev касательная остается параллельной некоторому фиксированному направлению, и кривая будет изотропной прямой. [23]
Это коническое сечение мы будем называть просто абсолютным, так как нетрудно в каждом отдельном случае преобразовать его проек-тивно в абсолютное коническое сечение, если только не обращать внимания на действительность преобразований. Но тогда конус направлений, исходящий от точки 5, TJ, С, будет доставляться изотропными прямыми, которые из нее исходят. [24]
У - есть просто изотропная гиперплоскость в пространстве Минков-ского. Это предельная конфигурация светового конуса, к которой он стремится, когда его вершина уходит в прошлое вдоль изотропной прямой. Точно так же световой конус прошлого для любой точки на У тоже является изотропной гиперплоскостью. [26]
В этой геометрии важнейшими элементами являются плоские сечения сферы и, в частности, ее изотропные образующие. Прежде всего, угол между двумя направлениями остается неизменным, так как он может быть определен проективно с помощью этих изотропных прямых. Проектируя стереографически сферу на плоскость, мы получим на плоскости шестичленную группу преобразований, которую мы назовем группой обратных радиусов, потому что она, наряду с обычными движениями и преобразованиями подобия плоскости, охватывает также все преобразования плоскости посредством обратных радиусов. [27]
Прямые комплекса / (, проходящие через одну и ту же точку т прямой Д суть образы точек одной и той же изотропной прямой из S. [28]
Вместе с тем в этом примере мы находим наилучшее подтверждение общего предложения о том, что две интегральные поверхности, имеющие общий элемент, содержат всю полосу, исходящую из этого элемента. Отсюда интегральные поверхности и характеристические-полосы тетраэдрального комплекса получаются посредством логарифмического отображения в частности, характеристики являются кривыми типа W-кривых, которые соответствуют изотропным прямым пространства 5, т ], С. [29]
Эта формула была найдена Лагерром и носит его имя. Формула Лагерра дает выражение меры угла в проективной форме, а именно через сложное отношение четырех прямых, проходящих через вершину угла: сторон угла и двух изотропных прямых. Поэтому равными будут всякие два угла, для которых соответствующие сложные отношения равны. [30]
Страницы: 1 2 3 4