Cтраница 4
В терминах изотропных прямых пространства-времени описываются не сами фотоны, а только их пределы при высоких энергиях. Дополнение к PT UPN в РТ есть другая открытая область РТ -, точки которой соответствуют левосторонним ( спиральность 5 - 1) классическим фотонам. Наиболее прямое соответствие между пространством-временем и комплексными многообразиями РТ и РТ - устанавливается с помощью их общего граничного многообразия FN. В М любая точка характеризуется системой проходящих через нее изотропных прямых. Этой системе отвечает некоторое множество в F N, а именно комплексная проективная прямая. [46]
В частности, мы выберем здесь основную плоскость так, чтобы она была параллельна касательной плоскости сферы в точке О ( черт. При таком расположении основные точки Ог и О образа, как сечения образующих изотропных прямых, проходящих через О, попадают в обе абсолютные точки плоскости образа. Далее, изотропные прямолинейные образующие сферы превращаются в оба пучка изотропных прямых, лежащих в основной плоскости. [47]
Обратно, Ли рассматривает, что соответствует точкам пространства линий в пространстве сфер. Чтобы это увидеть, мы будем исходить из некоторого пучка прямых комплекса р - р т - е из совокупности всех прямых комплекса, проходящих через одну точку. В пространстве сфер этому пучку соответствует некоторая изотропная прямая, именно прямая, все точки которой имеют нулевое расстояние друг от друга. Рассматривая теперь вместо пучка прямых их точку пересечения, мы найдем: точке линейного пространства соответствует изотропная прямая сферического пространства. [48]
Изотропные прямые имеют достаточно наглядную геометрическую интерпретацию при различных специализациях координат. Рхли х0 1, то гиперплоскость XQ ] пересекается с конической поверхностью ( д: 1д:) 0 по сфере ( абсолюту), а с двумерными плоскостями, которые касаются конуса - по прямым, касающимися сферы. Таким образом, при реализации на плоскости х0 1 изотропные прямые представляют собой прямые, которые касаются сферы в n - мерном пространстве. Можно показать и обратное, что любая прямолинейная образующая гиперболоида ( X I X) - I является изотропной прямой. [49]
Если мы положим - 0, то получим х Х г - О. Это означает: всей несобственной плоскости соответствует начало координат, центр инверсии. Кроме того все точки абсолютного конического сечения являются фундаментальными точками первой степени, и притом отдельной точке этого конического сечения соответствует изотропная прямая, соединяющая ее с началом координат. [50]