Cтраница 3
Но это тотчас же можно выполнить; инте-гралъные поверхности изотропного комплекса являются нам хороша известными изотропными развертывающимися поверхностями, а их характеристические полосы являются полосами этой поверхности вдоль изотропных прямых, ее образующих. [31]
В частности, для равномерного и прямолинейного движения функции х1 ( с4) будут линейными и, следовательно, определят в четырехмерном пространстве прямые. Если к тому же точка движется со скоростью света с, то форма (11.7) будет тождественно обращаться в нуль и, следовательно, четырехмерной траекторией такой точки будет изотропная прямая. [32]
Здесь in - и out - состояния совпадают с элементарными состояниями, задаваемыми ( WOLAa) i ( W B) n i я ( CaZa) i ( Z) flZP) rt i соответственно. Если п 4 и Аа, Са - изотропные твисторы, то они совпадают с линеаризованными изотропными волнами Робинсона - Траутмана [31] специального типа, волновые фронты которых являются изотропными конусами с вершинами на изотропной прямой А. Если А и В находятся на бесконечности, мы имеем постоянную плоскую волну, а если только А находится на бесконечности, мы получаем плоскую волну непостоянной амплитуды. [33]
Рассмотрим теперь две соприкасающиеся изотропные кривые и им соответствующие поверхности касательных. После преобразования они должны перейти опять в две такие развертывающиеся поверхности, которые соприкасаются вдоль образующей. Отсюда следует: конформные отображения перемещают изотропные прямые между собой. [34]
Обратно, Ли рассматривает, что соответствует точкам пространства линий в пространстве сфер. Чтобы это увидеть, мы будем исходить из некоторого пучка прямых комплекса р - р т - е из совокупности всех прямых комплекса, проходящих через одну точку. В пространстве сфер этому пучку соответствует некоторая изотропная прямая, именно прямая, все точки которой имеют нулевое расстояние друг от друга. Рассматривая теперь вместо пучка прямых их точку пересечения, мы найдем: точке линейного пространства соответствует изотропная прямая сферического пространства. [35]
Эти прямые обладают некоторыми замечательными свойствами, являющимися парадоксальными по сравнению со свойствами действительных прямых. О, то следует, что расстояние друг от друга двух произвольных собственных точек изотропной прямой равно нулю. Далее, обычно говорят, что всякая изотропная прямая сама себе перпендикулярна. [36]
Изотропные прямые имеют достаточно наглядную геометрическую интерпретацию при различных специализациях координат. Рхли х0 1, то гиперплоскость XQ ] пересекается с конической поверхностью ( д: 1д:) 0 по сфере ( абсолюту), а с двумерными плоскостями, которые касаются конуса - по прямым, касающимися сферы. Таким образом, при реализации на плоскости х0 1 изотропные прямые представляют собой прямые, которые касаются сферы в n - мерном пространстве. Можно показать и обратное, что любая прямолинейная образующая гиперболоида ( X I X) - I является изотропной прямой. [37]
Переходим к проективному определению меры угла. Подобно тому как для проективного обобщения расстояния двух точек мы прибегли к сложному отношению четырех точек, так для определения меры угла в проективной форме используем сложное отношение четырех лучей, проходящих через вершину этого угла. Двумя из них являются стороны угла, а двумя другими - так называемые изотропные прямые. [38]
В частности, мы выберем здесь основную плоскость так, чтобы она была параллельна касательной плоскости сферы в точке О ( черт. При таком расположении основные точки Ог и О образа, как сечения образующих изотропных прямых, проходящих через О, попадают в обе абсолютные точки плоскости образа. Далее, изотропные прямолинейные образующие сферы превращаются в оба пучка изотропных прямых, лежащих в основной плоскости. [39]
При п 2 мы имеем только один вид псевдоевклидова пространства. Под ромбом здесь понимается, как обычно, параллелограмм с ортогональными диагоналями. При неограниченном сближении соседних вершин ромб вырождается в отрезок, расположенный на одной из изотропных прямых. [40]
Когда при фиксированном р точка п пробегает прямую D, прямые рп все время - принадлежат / С, поскольку / С линейный комплекс. Значит, изотропная прямая-образ точки р встречает все образующие поверхности S. Поэтому S имеет две системы прямолинейных образующих, причем каждая из систем образующих состоит из изотропных прямых; следовательно, S есть сфера. [41]
Это легко показать, рассмотрев компоненты. Вектор га определен неоднозначно, допустимые преобразования имеют вид ra I - - ra kKAnA, k e С. Таким образом, геометрическое место точек R комплексифицированного пространства Минковского СМ положений переменного вектора га есть комплексная изотропная прямая. Геометрический смысл этого исследуется в гл. Отметим, что из изложенного, в § 1, 2 следует, что R есть в точности геометрическое место точек, инцидентных как твистору Wa, так и твистору Za в пространстве СМ. [42]
В § 3 мы описываем геометрию пространства Минковского. В § 4 вводится соответствие Пенроуза между пространством тви-сторов и пространством Минковского. В этом и состоит упомянутая выше замена основного пространства, при которой точки пространства-времени переходят в комплексные проективные прямые в Р3 ( проективные твисторы), а точки определенной вещественной гиперповерхности из Р3 переходят в изотропные прямые или световые лучи в пространстве Минковского. В § 8 дается краткий обзор основ теории голоморфных векторных расслоений и когомологий на комплексных многообразиях. В § 10 мы кратко поясняем, почему уравнения безмассового поля естественным образом возникают из соответствия Пенроуза. [43]
Проективная метрика псевдоевклидова пространства lRn определяется абсолютом, состоящим из совокупности ( ге - 1) - плоскости и вещественной ( и-2) - квад-рики в этой плоскости, поэтому проективная метрика соответствующего двойственного К. Абсолютный конус делит К. Изотропные плоскости псевдоевклидова пространства изображают точки абсолюта lRn - В зависимости от расположения относительно абсолютного конуса и абсолютной точки ( вершины) различают четыре типа прямых: эллиптические прямые, пересекающие абсолютный конус в двух мнимо сопряженных точках; гиперболически е п р я м ы е, пересекающие абсолютный конус в двух вещественных точках; параболические прямые, проходящие через абсолютную точку; изотропные прямые - параболические, к-рые касаются абсолютного конуса. [44]
Так вообще называют кривые, диференциал дуги dx - f - dy dz ( в прямолинейных координатах) которых равняется нулю. Но геометрически это означает, что касательные кривой пересекают абсолютное коническое сечение, что оно, следовательно, лежит на поверхности касательных кривой Длина дуги подобной изотропной кривой, сообразно с определением, разумеется равна нулю. Далее, так как соприкасающаяся плоскость кривой содержит две бесконечно близкие касательные кривой, то одновременно она всегда будет касательной плоскостью абсолютного конического сечения. Простейшим примером изотропных кривых являются изотропные прямые, дня которых понятие соприкасающейся плоскости теряет свой смысл. [45]