Cтраница 3
В результате исследования композиций синтетических моющих средств на основе ПАВ показана возможность их оптимизации с помощью математического планирования эксперимента - метода ортогональных латинских прямоугольников. Построена экспериментально-статистическая модель моющего действия и определены оптимальные концентрации основных органических и неорганических компонентов в растворах CMC, при которых достигается максимальное моющее действие. Найденное ранее уравнение концентрационной зависимости моющего действия водных растворов CMC действительно как для отдельных компонентов, так и для сложных моющих композиций Дано объяснение физического смысла параметров в уравнении моющего действия. [31]
Заметим, что из условий ( 1) и ( 2) следует, что m J п; если т га, то латинский прямоугольник называется латинским квадратом. К примеру, на рис. 27.1 и 27.2 изображены латинский ( 3 X 5) - прямоугольник и латинский ( 5 X 5) - квадрат. [32]
К латинским планам мы относим латинские и гипер-греко-ла-тинские квадраты, кубы, прямоугольники, параллелепипеды, а также сложные планы, построенные на базе латинских планов. Латинские прямоугольники, к одной из разновидностей которых относятся квадраты Юдена, имеют двойное подчинение: по методу построения они связаны с латинскими квадратами ( их можно построить вычеркиванием определенных строк или столбцов латинских квадратов, поэтому они еще называются неполными латинскими квадратами), а по свойствам и по методам статистического анализа они близки к блок-схемам. [33]
Лестничные схемы связаны с латинскими прямоугольниками. Латинским прямоугольником называется прямоугольная таблица элементов, в которой каждый ряд представляет собой перестановку из одних и тех же п элементов, причем в каждом столбце все элементы различны. [34]
При этом возможно использование только тех прямоугольников, у которых число опытов совпадает с числом опытов по матрице. Наложение латинского прямоугольника на матрицу производится таким образом, чтобы каждый его элемент совпал с одним из элементов матрицы. [35]
Использование латинских планов часто бывает неудобным, так как три исследуемых фактора должны иметь одинаковое число уровней. Избежать этого позволяют латинские прямоугольники, которые можно определить как подмножество строк ( столбцов) латинского квадрата. [36]
Принцип просеивания применим не только к пересчету, но также к перечислению и оптимизации. Перечисление с помощью латинских прямоугольников - метод, который осуществляет исключение путем разделения. Оптимизация по методу ветвления и ограничения и принцип оптимальности Беллмана - Понтря-гина также находятся в рамках этих понятий. В последующих главах общность этих методов проявится более четко. [37]
Для дальнейшего уменьшения числа опытов применяются латинские прямоугольники. [38]
Латинский прямоугольник с двумя строками и п столбцами можно нормировать, потребовав, чтобы элементы в первой строке были расположены в естественном порядке; тогда во второй строке могут содержаться только такие перестановки, которые фигурируют в задаче о встречах. Число Ц2, п) таких двухстрочных латинских прямоугольников равно п Dn, где. Более сложная зависимость существует между числом трехстрочных латинских прямоугольников и числом решений задачи о гостях; эта зависимость устанавливается в следующей главе. Дальнейшим усложнением является переход к схемам, подобным трехступенчатой лестнице, связанным в некотором смысле с четырехстрочными латинскими прямоугольниками, о которых фактически известно очень мало. [39]
Этот вопрос представляет интерес, в частности, при перечислении латинских прямоугольников. [40]
В этой главе продолжаются рассмотрения, начатые в гл. Изучаются лестничные шахматные доски ( наиболее известным примером которых является доска в задаче о гостях), тесно связанные с ними латинские прямоугольники и, наконец, трапециевидные и треугольные доски, появляющиеся в задаче Симона Ньюкомба. Интересным частным случаем задачи Симона Ньюкомба является головоломка, известная под названием задачи о слонах. Каждый из указанных предметов допускает значительные обобщения. Все то, что содержится в основном тексте, а также в задачах, только определяет направления дальнейших исследований. Ярким примером являются латинские прямоугольники с числом строк более трех, перечисление которых только начато. [41]
Очевидным ограничением применения латинских квадратов при планировании эксперимента является то, что все факторы должны иметь одно и то же число уровней. Поэтому квадраты размером более чем 10x10 применяются очень редко. Многие латинские прямоугольники обладают свойствами блок-схем. В зависимости от того, сколько столбцов или строк отнимать от латинского квадрата и каким образом, можно получить сбалансированный неполноблочный план, частично сбалансированный неполноблочный план или план, вообще не относящийся к блок-схемам. Юден построил ряд латинских прямоугольников, обладающих достаточно хорошими статистическими свойствами. [42]
Латинские прямоугольники п квадраты представляют собой весьма распространенный комбинаторный объект, так как обладают очень интересными свойствами. Они широко применяются также при планировании экспериментов. С первого взгляда латинские прямоугольники не имеют отношения к конфигурациям подмножеств, которые мы изучаем. [43]
Латинский прямоугольник с двумя строками и п столбцами можно нормировать, потребовав, чтобы элементы в первой строке были расположены в естественном порядке; тогда во второй строке могут содержаться только такие перестановки, которые фигурируют в задаче о встречах. Число Ц2, п) таких двухстрочных латинских прямоугольников равно п Dn, где. Более сложная зависимость существует между числом трехстрочных латинских прямоугольников и числом решений задачи о гостях; эта зависимость устанавливается в следующей главе. Дальнейшим усложнением является переход к схемам, подобным трехступенчатой лестнице, связанным в некотором смысле с четырехстрочными латинскими прямоугольниками, о которых фактически известно очень мало. [44]
К вычислению перманентов сводится целый класс задач по определению числа перестановок с ограниченными позициями. С определением перманентов нек-рых классов матриц связаны варианты задачи о д и м е р а х, возникающей при изучении явления адсорбции и заключающейся в определении числа способов объединения атомов в двухатомные молекулы на нек-рой поверхности. Ее решение может быть также получено через пфаффианы - некоторые функции от матриц, близкие к определителям. Проблема о числе латинских прямоугольников ( квадратов) также связана с разработкой эффективных методов вычисления перманентов нек-рых ( 0, 1) - матриц. [45]