Cтраница 4
Но разность между отдельными расстояниями настолько сравнительно мала, что мы можем рассматривать все В как расположенные вокруг Л в первой координационной псевдосфере. [46]
Но разность между отдельными расстояниями настолько сравнительно мала, что мы можем рассматривать все [ AB / I 2 i 1 В как расположенные вокруг Л в первой 3 2 svJs координационной псевдосфере. [47]
Поверхность, которую мы получили, называется псевдосферой. Псевдосфера имеет при г 0 особенности. [48]
Изображенная на рис. 3.29 поверхность не гладкая: она имеет ребро Это обстоятельство не случайно: можно показать, что в трехмерном пространстве не существует неограниченно продолжимой гладкой поверхности, имеющей постоянную отрицательную кривизну. Внутренняя геометрия псевдосферы отлична и от обычной планиметрии и от геометрии на сфере. Не имея возможности останавливаться здесь на всех этих вопросах ( имеющих, между прочим, глубокие связи с современными физическими представлениями, в частности с теорией относительности), мы отсылаем интересующегося ими. [49]
Отметим, что поверхность постоянной отрицательной кривизны, образованная вращением трактрисы вокруг асимптоты, представляет собой псевдосферу ( псевдо, от гр. Внутренняя геометрия псевдосферы локально совпадает с геометрией Лобачевского. [50]
Но какой-нибудь житель поверхности не знает никаких более прямых линий на своей поверхности, чем окружности больших кругов. Соответственное имеет место и для псевдосферы: самыми прямыми линиями и являются именно эти окружности. Аналогично и на всякой другой поверхности существуют самые прямые, или, как говорят, геодезические линии. [51]
Точно так же можно определить стереографическую проекцию левой полости гиперболоида на ту же плоскость YOZ, используя в качестве центра проектирования южный полюс S. На рис. 28 показано сечение псевдосферы плоскостью, проходящей через ось ОХ. В отличие от обычной сферы 52, образ псевдосферы S2 при ее стереографической проекции покрывает только часть плоскости YOZ, так как окружность у2 z2 а2 не принадлежит образу проекции. Северный полюс N переходит ( как и в случае сферы) в бесконечно удаленную точку плоскости YOZ. Пусть теперь точка Р имеет декартовы координаты ( х, у, z) ( где х 0) и пусть ( и и2) - декартовы координаты точки f ( P) на плоскости YOZ, где отображение / - стереографическая проекция. [52]
Замечательно, что свойством ( 12) обладают прямолинейные треугольники в геометрии Лобачевского. И вообще на любом куске псевдосферы, не содержащем точек параллели UV, осуществляются все без исключения свойства, которыми обладает некоторый КУСОК плоскости в геометрии Лобачевского. Бельтрами ( 1835 - 1900), устранило то недоверие к геометрии Лобачевского, с которым к ней прежде относились почти все математики, в том числе и очень видные. [53]
Итак, псевдосфера - это поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на которой выполняются многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Стороны треугольника - это дуги псевдосферы, дающие кратчайшие расстояния между двумя ее точками и выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости; эти линии, называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и натертую краской или мелом нить в вершинах треугольника. [54]