Cтраница 1
Простые дивизоры 3, делящие 2), могут быть также охарактеризованы следующим свойством: порядок образующего автоморфизма группы инерции дивизора ф в К в / раз меньше, чем порядок любого элемента группы Галуа K ( yjt) / k, индуцирующего этот автоморфизм. При этом мы говорим об образующей группы инерции ф в K / k, так как эта группа циклическая, что следует из того, что ( /, J) 1 ввиду условия 1 в определении шольцева поля. [1]
Понятию критического простого дивизора удобно придать бира-ционально инвариантную форму, связав его с полем алгебраических функций, а не с многообразием X - моделью этого поля. Простой дивизор р поля k называется некритическим для поля К, если существует хотя бы одно неособое полное многообразие X, для которого К является полем функций, ар - некритическим простым дивизором в смысле предшествующего определения. [2]
Все вещественные бесконечно удаленные простые дивизоры S7 распадаются в k только на вещественные. [3]
У, - простые дивизоры на X, рациональные над основным 5полем К. [4]
Пусть р такой простой дивизор поля k, что алгебра Kv неразветвлена. [5]
Пусть р - произвольный простой дивизор поля k, / - взаимно простой с /, и ф - произвольный простой делитель р в К. [6]
Фиксируем конечное множество S простых дивизоров поля k и рассмотрим максимальное / - расширение KS, разветвленное только в простых дивизорах р G S. Группа Галуа расширения Ks / k обозначается через s - Она является / - группой конечной или топологической. В § 1 определяется минимальное число образующих группы &. Основной целью является определение минимального числа соотношений, связывающих эти образующие. В § 2 выясняется, что этот вопрос связан с условиями разрешимости некоторых задач погружения арифметического характера. [7]
Вопросы, связанные с критическими простыми дивизорами полей алгебраических чисел, могут быть поставлены и для алгебраических многообразий, определенных над полями алгебраических чисел и приводят нас к интересным задачам и некоторым результатам. [8]
С другой стороны, всякий простой дивизор q / m должен полностью распадаться в К, так как иначе он был бы критическим простым дивизором K ( yji) не первого порядка. [9]
С другой стороны, для любого простого дивизора р поля k многообразие А имеет, согласно условию теоремы, невырожденную редукцию. [10]
Пусть К разветвлено только в простых дивизорах множества S, р S и К - некоторое решение задачи погружения. [11]
Тогда, как и выше, простые дивизоры иа X могут быть двух типов, Первый тип соответствует минимальным простым идеалам р-кольца R, пересечение которых с О равно нулю. Такие дивизоры называют геометрическими над О. K & 0R, который определяет простой дивизор, рациональный над полем К. [12]
Пусть сг принадлежит к группе инерции 1 простого дивизора ф поля К. Обозначим через ар группу точек А, рациональных над fcp, а через а - группу точек А, рациональных над Ку. Легко проверить, что ар совпадает с подгруппой тех элементов группы агр, которые инвариантны относительно автоморфизмов сг-у. [13]
Если эта алгебра сепарабельна, то р называется некритическим простым дивизором, в противном случае - критическим. [14]
Обозначим через произведение всех ри, Iя и вещественных бесконечно удаленных простых дивизоров, через Н - группу 1 - х степеней классов дивизоров по модулю, а через L - поле классов к Я. Покажем, что условия ( 25) и требование, чтобы mi было сравнимо с 1 по модулю Iя и тотально-положительно, эквивалентны тому, что дивизор ( mi) принадлежит к определенному автоморфизму в L. Действительно, если числа mi и т [ удовлетворяют этим условиям, то ( m i) H ( mi) H, и, наоборот, если дивизор а таков, что оЯ ( mi), то а ( а) Ь, причем а удовлетворяет всем нужным нам условиям. Обозначим через г тот автоморфизм поля L, принадлежность к которому дивизора ( mi) гарантирует выполнение наложенных нами на mi условий. [15]