Cтраница 2
Мы будем считать, что множество S не содержит комплексных бесконечных простых дивизоров. Это не является существенным ограничением, так как всякий комплексный простой дивизор неразветвлен. [16]
Если К - произвольное поле алгебраических чисел, то роль простых чисел играют его простые дивизоры. Множество их обозначим S. [17]
Фиксируем конечное множество S простых дивизоров поля k и рассмотрим максимальное / - расширение KS, разветвленное только в простых дивизорах р G S. Группа Галуа расширения Ks / k обозначается через s - Она является / - группой конечной или топологической. В § 1 определяется минимальное число образующих группы &. Основной целью является определение минимального числа соотношений, связывающих эти образующие. В § 2 выясняется, что этот вопрос связан с условиями разрешимости некоторых задач погружения арифметического характера. [18]
К С KS, которое является, очевидно, максимальным абелевым расширением периода / поля k, разветвленным только в простых дивизорах р Е S. Ввиду этого, определение числа d ( S) сводится к вопросу об абелевых расширениях. Этот вопрос может быть решен на основании теории полей классов при помощи стандартных рассуждений. [19]
Предположим, что 1 2, число классов дивизоров поля k нечетно, а 2 делится в k только на один простой дивизор: 2 Iе и k имеет только один бесконечный вещественный простой дивизор, который мы обозначим через рс. Примером такого поля является поле рациональных чисел R. Возьмем за S множество, состоящее из двух простых дивизоров ( и роо. [20]
С другой стороны, всякий простой дивизор q / m должен полностью распадаться в К, так как иначе он был бы критическим простым дивизором K ( yji) не первого порядка. [21]
К - объединение расширений К / К, для которых Ga ( K / K) - р-группа и которые разветвлены лишь в конечном множестве Е простых дивизоров поля К. [22]
В § 2 будет доказано, что в каждом таком классе можно выбрать такого представителя р, что в поле К, получающемся присоединением к k всех / /, все критические простые дивизоры k распадутся на дивизоры 1-го порядка. [23]
Предположим, что 1 2, число классов дивизоров поля k нечетно, а 2 делится в k только на один простой дивизор: 2 Iе и k имеет только один бесконечный вещественный простой дивизор, который мы обозначим через рс. Примером такого поля является поле рациональных чисел R. Возьмем за S множество, состоящее из двух простых дивизоров ( и роо. [24]
В случае полей алгебраических чисел теория полей классов не только описывает группу Ga ( Kab / K), но ввиду арифметического характера этого описания, позволяет детально изучить арифметику абелевых расширений К / К: законы разложения простых дивизоров поля К в поле К1 и законы взаимности. [25]
По своему виду условия ( 7), при которых определен символ [ %, X ], и само определение этого символа зависят не только от х и X, но и от выбора числа ах, соответствующего %, числа fj, в классе X и простых дивизоров р среди множества всех сопряженных друг с другом дивизоров. [26]
Действительно, достаточно заметить, что в таком кольце дивизор ( я) прост тогда и только тогда, когда прост элемент я ( если я п П2, то ( я) ( п) ( я2), а если ( я) ( п) ( я2), то я ассоциирован с произведением Я1Я2; обратим внимание, что здесь существенно использовано предположение, что все дивизоры главные), и потому разложение каждого дивизора ( ос) в произведение простых дивизоров даст разложение элемента а в произведение простых элементов, причем с точностью до ассоциированности это разложение будет единственно. [27]
Понятию критического простого дивизора удобно придать бира-ционально инвариантную форму, связав его с полем алгебраических функций, а не с многообразием X - моделью этого поля. Простой дивизор р поля k называется некритическим для поля К, если существует хотя бы одно неособое полное многообразие X, для которого К является полем функций, ар - некритическим простым дивизором в смысле предшествующего определения. [28]
К простому дивизору р поля k соответствует элемент ф группы Up. Равенство ф 1 необходимо и достаточно для того, чтобы р было неразветвлено и в К. [29]
Пусть р - простой множитель, входящий в / l ] [ i) rf с некоторым положительным показателем. Если все эти простые дивизоры f являются полюсами функции г, то уже сам А является делителем дивизора Dm и доказывать больше нечего. [30]