Cтраница 4
Это значит, что локальные кольца некоторых его точек не будут регулярными. В случае кольца сг / р условие регулярности локальных колец его простых идеалов совпадает с сепарабельностью. Это приводит нас к следующему определению: простой дивизор р поля k называется некритическим для полного неособого многообразия X, определенного над &, если Х / р - неособое многообразие над полем & ( р); в противном случае р называется критическим. В [12] доказано, что X имеет только конечное число критических простых дивизоров. [46]
Предположим, что 1 2, число классов дивизоров поля k нечетно, а 2 делится в k только на один простой дивизор: 2 Iе и k имеет только один бесконечный вещественный простой дивизор, который мы обозначим через рс. Примером такого поля является поле рациональных чисел R. Возьмем за S множество, состоящее из двух простых дивизоров ( и роо. [47]
Удается оценить сверху их число. Определение числа соотношений связано, как мы видели, с решением некоторой задачи погружения. В нашем случае эта задача погружения поля, все критические простые дивизоры которого содержатся в 5, в поле такого же типа. [48]
Заметим, что хотя источники этих результатов аналитические, им может быть придана алгебраическая формулировка. Группа 7Ti ( 9t - 5) также может быть описана в алгебраических терминах. Для этого рассмотрим поле Д §, являющееся объединением всех расширений k / k, критические простые дивизоры которых принадлежат множеству S. Это расширение бесконечно, и его группа Га-луа 65s является топологической группой. Таким образом, группа 0s может быть определена для произвольного поля алгебраических функций. [49]
Это значит, что локальные кольца некоторых его точек не будут регулярными. В случае кольца сг / р условие регулярности локальных колец его простых идеалов совпадает с сепарабельностью. Это приводит нас к следующему определению: простой дивизор р поля k называется некритическим для полного неособого многообразия X, определенного над &, если Х / р - неособое многообразие над полем & ( р); в противном случае р называется критическим. В [12] доказано, что X имеет только конечное число критических простых дивизоров. [50]