Cтраница 3
Пусть р - простой множитель, входящий в flvrf c некоторым положительным показателем. Если все эти простые дивизоры f являются полюсами функции г, то уже сам А является делителем дивизора Dm и доказывать больше нечего. [31]
Дальше нам будут нужны соотношения, аналогичные ( 21) и ( 22) и в некотором смысле их аппроксимирующие. Обозначим через S конечное множество простых дивизоров поля fc, содержащее все простые дивизоры, по модулю которых А не имеет невырожденной редукции. [32]
Тем самым дивизоры образуют абелеву группу - группу дивизоров поля К. Отдельные плейсы р называются также простыми дивизорами. Они порождают всю группу дивизоров. [33]
Тем самым дивизоры образуют абелеву группу - группу дивизоров поля К. Отдельные плейсы р называются также простыми дивизорами. Они порождают всю группу дивизоров. [34]
В случае, когда характер X - ф 1, максимальное подполе поля К, имеющее абелеву группу показателя /, не изменится при расширении К до К ( уЦ), так что и K ( yjl) будет пересекаться с неразветвленным полем Л по А. По построению, оно делится на простой дивизор q, взаимно простой со всеми ах. [35]
Мы будем считать, что множество S не содержит комплексных бесконечных простых дивизоров. Это не является существенным ограничением, так как всякий комплексный простой дивизор неразветвлен. [36]
Дальше нам будут нужны соотношения, аналогичные ( 21) и ( 22) и в некотором смысле их аппроксимирующие. Обозначим через S конечное множество простых дивизоров поля fc, содержащее все простые дивизоры, по модулю которых А не имеет невырожденной редукции. [37]
Пользуясь известными приемами теории алгебраических поверхностей, можно свести вопрос к случаю, когда отображение / регулярно. Те точки, прообразы которых являются кривыми с особенностями, и служат аналогом критических простых дивизоров. [38]
Одна из основных теорем алгебраических чисел, связанная с понятием дискриминанта - это теорема Эрмита, утверждающая, что число расширений k / k с заданной степенью и с заданным дискриминантом конечно. Этой теореме можно придать следующую форму: число расширений k / k заданной степени, критические простые дивизоры которых принадлежат заданному конечному множеству 5, конечно. [39]
Легко видеть, что доказательство предложения 1 из § 7 дословно сохранится, если под я понимать не простой элемент, а простой дивизор. Поэтому из того, что произведение этих дивизоров является / - и степенью ( оно равно дивизору ( z) 1), следует, что каждый из них будет / - и степенью. [40]
Ответы на эти вопросы неизвестны. Положительный ответ на второй из них означал бы, что для любого конечного нормального расширения K / k число образующих его группы Галуа ограничено в зависимости от числа критических простых дивизоров. Этот вопрос интересен уже для самых простых расширений. [41]
Понятию критического простого дивизора удобно придать бира-ционально инвариантную форму, связав его с полем алгебраических функций, а не с многообразием X - моделью этого поля. Простой дивизор р поля k называется некритическим для поля К, если существует хотя бы одно неособое полное многообразие X, для которого К является полем функций, ар - некритическим простым дивизором в смысле предшествующего определения. [42]
Наконец, докажем, что в X существует такой представитель / з, что в ( уДз) / J7 выполняются первое, второе и третье условия шольцевости. Так как k ( yjI) / L уже шольцево, то нам надо, не нарушая этого, а также второго и третьего условий шольцевости относительно Ми / для fc ( / 7) /) добиться того, чтобы критические простые дивизоры Z /, не являющиеся критическими в & ( д ] / Д) / 1 /, там распадались. [43]
В первом случае поле констант, вообще говоря, отсутствует, если ни для какого простого числа р ие выполняется равенство р - 1я 0 в кольце R; иначе R становится конечно порожденной Fp-алгеброй. Для простых дивизоров р имеются две возможности. Первая - соответствующий идеал р не содержит простых чисел. [44]
Тогда, как и выше, простые дивизоры иа X могут быть двух типов, Первый тип соответствует минимальным простым идеалам р-кольца R, пересечение которых с О равно нулю. Такие дивизоры называют геометрическими над О. K & 0R, который определяет простой дивизор, рациональный над полем К. [45]