Cтраница 1
Пучок окружностей, ортогональных всем окружностям данного собственного пучка, называется пучком, сопряженным этому пучку. [1]
Пучок окружностей - однопараметриче-ское семейство окружностей, линейно зависящее от параметра. [2]
Пучок окружностей является гиперболическим тогда и только тогда, когда он содержит дне пулевые окружности. Нулевые окружности гиперболического пучка называются его предельными точками или точками Понселе. [3]
Точками Понселе пучка окружностей называют две точки, симметричные относительно каждой окружности пучка, или, что то же, основание пучка, ортогонального к данному. Всякая внутренняя к Г окружность может быть, очевидно, рассматриваемая и притом однозначным способом как неевклидова окружность. Легко видеть, что они ортогональны к неевклидовсй окружности и ко всем окружностям с тем же неевклидовым центром. [4]
На чертеже 129 пучок окружностей образует на прямой и гиперболическую инволюцию, так как пары Л, Л и В, В не разделяют друг друга. Посмотрим, как построить двойные точки этой инволюции. Очевидно, двойную точку инволюции получим в том случае, когда окружность пучка касается прямой и, так как при этом обе точки пересечения окружности с прямой и сливаются в одну. [5]
Доказать, что пучок окружностей является эллиптическим тогда и только тогда, когда он не содержит ни одной нулевой окружности. [6]
Каждому пучку окружностей отвечает ортогональный пучок окружностей. Именно, если р есть общая радикальная ось первого пучка, то каждая точка прямой р есть центр некоторой окружности, которая пересекает все окружности первого пучка ортогонально. [7]
Способ б) дает эллиптический пучок окружностей, когда данная точка не является центром данной окружности ( в силу соглашения 2 являющейся настоящей окружностью), и собственный пучок прямых в противном случае. [8]
Способ г) дает эллиптический пучок окружностей. [9]
Если т0 0, то имеем эллиптический пучок окружностей с вещественными двойными точками; откладывая по радикальной оси отрезки SA SB У - т0, мы найдем точки А к В, через которые должны проходить все окружности пучка; в этом случае кривая Бурместера состоит из двух ветвей. Если т0 0, то точки А и В совпадают, пучок будет параболическим, все окружности пучка касаются радикальной оси в точке Л В; кривая Бурместера состоит из одной ветви, имеющей узловую точку в А. Если т0 0, то имеем гиперболический пучок окружностей; откладывая по линии центров отрезки SA SB - m0, получим точки А и В, являющиеся окружностями нулевых радиусов пучка; кривая Бурместера состоит из одной ветви. [10]
В качестве предельного случая получаем два пучка касающихся окружностей. [11]
После преобразования мы получим, очевидно, пучок окружностей, проходящих через точки В и В %, и в силу конформности эти окружности, доставляющие пучок, будут ортогональны к окружности / 1 ( а это, как мы знаем, и является характерным свойством симметричных точек. I, переходят при этом в точки, симметричные относительно окружности LI. Заметим при этом, что центру окружности соответствует по закону симметрии бесконечно далекая точка. В данном случае пучок окружностей, проходящих через эти две точки, сводится к пучку прямых, проходящих через центр окружности, и прямые этого пучка, очевидно, ортогональны самой окружности. [12]
После преобразования мы получим, очевидно, пучок окружностей, проходящих через точки St и В2, и в силу конформности эти окружности, составляющие пучок, будут ортогональны к окружности /, а это, как мы знаем, и является характерным свойством симметричных точек. Заметим при этом, что центру окружности соответствует по закону симметрии бесконечно далекая точка. В данном случае пучок окружностей, проходящих через эти две точки, сводится к пучку прямых, проходящих через центр окружности, и прямые этого пучка, очевидно, ортогональны самой окружности. [13]
На прямой, пересекающей хорду PQ, пучок окружностей образует эллиптическую инволюцию. [14]
Итак, уравнению ( 17) соответствует на плоскости z пучок окружностей, проходящих через точки аир. [15]