Cтраница 3
На основании этого мы можем построить целое семейство окружностей, ортогональное данному пучку. Это новое семейство окружностей Образует опять пучок окружностей в изложенном выше смысле, что мы теперь и докажем. [31]
Следовательно, окружность С ортогональна к С. Очевидно, что и наоборот: если пучок окружностей, которые проходят через точки М и N ортогонален к С, то М и N буду т взаимно симметричные точки относительно окружности С. [32]
С другой стороны, те, же результаты могут быть получены с помощью следующих простых соображений. Если AD - rвысота, опущенная из точки А, то пучок соосных окружностей, проходящих через точки А и D, может быть описан как совокупность окружностей, имеющих чевианы, проходящие через точку А, в качестве диаметров. [33]
Таким же характерным свойством обладают и две точки, симметричные относительно прямой, а именно: пучок окружностей, проходящих через эти две точки, будет состоять из окружностей, ортогональных к прямой ( черт. [34]
Это означает не что иное, как то, что точка, изображающая нуль-окружность, лежит на ортогональной окружности. Так как теперь Б каждом отдельном пучке находится две нуль-окружности, то все окружности ортогональной системы должны проходить через обе эти фиксированные точки; следовательно, ортогональная система имеет также характерное свойство пучка окружностей. [35]
С ортогональна к окружности С. Отсюда нетрудно видеть, что и для двух точек А1 и Л2, симметричных относительно окружности С, характерным является то обстоятельство, что всякая окружность, проходящая через них, будет ортогональна с С, или, иначе говоря, пучок окружностей, проходящих через точки, симметричные относительно окружности С, будет состоять из окружностей, ортогональных к С. [36]
После преобразования мы получим, очевидно, пучок окружностей, проходящих через точки St и В2, и в силу конформности эти окружности, составляющие пучок, будут ортогональны к окружности /, а это, как мы знаем, и является характерным свойством симметричных точек. Заметим при этом, что центру окружности соответствует по закону симметрии бесконечно далекая точка. В данном случае пучок окружностей, проходящих через эти две точки, сводится к пучку прямых, проходящих через центр окружности, и прямые этого пучка, очевидно, ортогональны самой окружности. [37]
Систему всех, таким образом полученных, окружностей называют пучком окружностей. Из уравнения пучка непосредственно следует, что все окружности проходят через две точки пересечения исходных окружностей и что они вследствие этого имеют одну и ту же радикальную ось Sr - У з 0, которая сама является окружностью пучка. Игнорируя предельные случаи, можно пучок окружностей определить так: под ПУЧКОМ окружностей по-ни Мают систему всех окружно-стей, проходящих через две общие действительные или мнимые ( собственные) точки. [38]
Покажем, что в интерпретации Пуанкаре окружности Лобачевского изображаются евклидовыми окружностями. Действительно, окружность отличается тем, что она пересекает под прямым углом все прямые, проходящие через ее центр. Так как пучку прямых Лобачевского соответствует в интерпретации Пуанкаре пучок окружностей, а ортогональные траектории пучка окружностей, как известно, окружности, то мы и заключаем, что окружностям Лобачевского на полуплоскости Пуанкаре соответствуют окружности Ев клида. [39]
На практике часто встречаются случаи, когда заданные точки находятся внутри круга, а не на границе. Поэтому, если потребовать, чтобы внутренность одной окружности конформно отобра - жалась на внутренность другой и данная внутренняя точка г0 переходила в данную также внутреннюю точку и0, то прежде всего мы должны определить точки z и w, симметричные данным относительно соответствующих окружностей. Пары z0, z и ю0, ю определяют тем самым два пучка окружностей, к которым принадлежат и данные окружности. Для того чтобы эти окружности при отображении переходили друг в друга, можно выбрать на каждой из них еще по одной точке z2 и ш, и потребовать, чтобы эти точки переходили друг в друга. [40]
В качестве центра проекций берется точка С, диаметрально противоположная точке А. Вся проекция полушария изобразится в виде круга; меридианы изображаются в виде эллиптического пучка окружностей, проходящих на карте через северный и южный полюсы, а параллели изобразятся в виде гиперболического пучка окружностей, осью которого служит на карте экватор. [41]
Покажем, что в интерпретации Пуанкаре окружности Лобачевского изображаются евклидовыми окружностями. Действительно, окружность отличается тем, что она пересекает под прямым углом все прямые, проходящие через ее центр. Так как пучку прямых Лобачевского соответствует в интерпретации Пуанкаре пучок окружностей, а ортогональные траектории пучка окружностей, как известно, окружности, то мы и заключаем, что окружностям Лобачевского на полуплоскости Пуанкаре соответствуют окружности Ев клида. [42]
Итак, уравнению ( 16) будет соответствовать семейство окружностей, относительно которых точки а и симметричны ( черт. В это семейство будет входить, очевидно, и прямая, перпендикулярная к отрезку a, j3 в его середине. Рассмотрим теперь на плоскости w семейство прямых, проходящих через начало, или, иначе говоря, пучок окружностей, проходящих через точки w - Q и w со. [43]
Точки Понселе а, р этого пучка, очевидно, действительные и лежат На Г; они служат центрами пучка окружностей, ортогональных к рассматриваемому пучку. Внутренние к Г части окружностей, проходящих через а, р, назовем гиперциклами ( фиг. [44]
После преобразования мы получим, очевидно, пучок окружностей, проходящих через точки В и В %, и в силу конформности эти окружности, доставляющие пучок, будут ортогональны к окружности / 1 ( а это, как мы знаем, и является характерным свойством симметричных точек. I, переходят при этом в точки, симметричные относительно окружности LI. Заметим при этом, что центру окружности соответствует по закону симметрии бесконечно далекая точка. В данном случае пучок окружностей, проходящих через эти две точки, сводится к пучку прямых, проходящих через центр окружности, и прямые этого пучка, очевидно, ортогональны самой окружности. [45]