Cтраница 3
В книге не дана полная теория. В самом деле, тема линейных вектограмм и универсальных поверхностей представляется очень обширной, и дальнейшие исследования покажут, что эта тема, возможно, столь же большая, как и многие проблемы вариационного исчисления. Мы приведем необходимые условия в аналитической форме для случаев, где размерность пространства не превышает четырех. Для решения многих задач этого достаточно, но много интересных моментов все же не исследовано. [31]
Принимая эти функции за новые ф, получаем (2.7.1), где аг 0, Ьг. Аналогично можно поступить и с - вектограммой. [32]
Основания для такого предположения аналогичны основаниям для предположения о выпуклости. Если имеется, например, сходящаяся последовательность членов - вектограммы, на которых значения платы увеличиваются, то это означает, что практически решение игры отсутствует. Тогда разумно включить в вектограмму предельное значение скорости, которое мы предполагаем оптимальным. Тем самым трудности подобного рода преодолеваются. [33]
Предположим, что изображенная на рис. 7.3.1, а точка лежит на такой кривой. Из рис. 7.3.1, а и б ясно, как выглядят вектограммы непосредственно справа и слева; на маленьких вектограммах рис. 7.3.1 0 выделены оптимальные направления. [34]
Выберем координаты так, чтобы универсальная поверхность лежала в плоскости xt Q. Будем считать, что универсальная поверхность такова, что соответствующие ее точкам вектограммы не лежат целиком в этой плоскости; в наших координатах это означает, что а и pt одновременно не обращаются в нуль. [35]
Пусть в некоторой области градиент функции V существует и не равен нулю. Мы покажем приближенным геометрическим способом, что тогда универсальная поверхность может возникнуть лишь в случае линейных вектограмм. [36]
Предположим, что изображенная на рис. 7.3.1, а точка лежит на такой кривой. Из рис. 7.3.1, а и б ясно, как выглядят вектограммы непосредственно справа и слева; на маленьких вектограммах рис. 7.3.1 0 выделены оптимальные направления. [37]
При G0 очевидно, что для Е лучше допустить такое движение по экивокальной поверхности, при котором скорость вдоль этой поверхности по возможности мала. Пусть на рис. 10.5.3 X - точка на экивокальной поверхности, XAi и ХА-2 - крайние векторы Р - вектограммы ( Л4Л2 - базовая линия), а пунктирная прямая - касательная к экивокальной поверхности в точке X. Пусть Е выбирает некоторую скорость AiBi ( или параллельные и равные ей А В, АзВ3) из своей век-тограммы, вид которой нам неизвестен. [38]
Основания для такого предположения аналогичны основаниям для предположения о выпуклости. Если имеется, например, сходящаяся последовательность членов - вектограммы, на которых значения платы увеличиваются, то это означает, что практически решение игры отсутствует. Тогда разумно включить в вектограмму предельное значение скорости, которое мы предполагаем оптимальным. Тем самым трудности подобного рода преодолеваются. [39]
Заменим теперь векгограммы их выпуклыми оболочками. Понятно, в каком смысле это решение аппроксимируется решениями первоначально сформулированной задачи. Итак, заменяя в случае необходимости вектограммы их выпуклыми оболочками, можно преодолеть трудности вышеупомянутого типа и с помощью полученного решения легко интерпретировать рассматриваемую игру. [40]
Но оказывается, что для большинства практических задач стратегии, соответствующие таким векторам, не оптимальны. Например, в задачах о движущихся объектах нас интересует лишь наилучшее направление скорости, а оптимальность стратегии почти всегда приводит к максимально допустимому значению ее величины. Поэтому во многих рассматриваемых задачах не нужно требовать выпуклости вектограммы в этом смысле ( их всегда можно сделать такими, вводя новое управление типа вышеупомянутого с, но оптимальное значение с, как правило, равно 1), однако вектограммы обязаны иметь выпуклое замыкание по отношению к векторам различных направлений. [41]
Мы можем, следовательно, считать, что длина векторов в любой вектограмме ограничена, ибо в противном случае из предположения о замкнутости следовало бы существование векторов бесконечной длины. Поэтому бесконечную скорость вместе с некоторой ее окрестностью можно удалить из вектограммы, не потеряв при этом ничего существенного. [42]
Таким образом, вектограмма системы - невыпукла, и в принципе возможно появление скользящих режимов. Однако это еще не значит, что скользящий режим появится неизбежно. Во всяком случае в задачах, решенных в § 30 для системы с невыпуклой вектограммой, нет и намека на скользящий режим, и содержательный анализ этих задач показывает, что ожидать скользящий режим нет оснований. Этот анализ не так уж сложен и он подсказывает, как сконструировать для этой системы задачу, в которой почти наверняка появится скользящий режим. [43]
На экивокальной поверхности Е имеет выбор между траверсирующей и проникающей стратегиями. По лемме 10.5.1 требуется, чтобы Е выбрал вектор скорости, перпендикулярный к базовой линии Р - вектограммы. По лемме 10.2.1 эта линия перпендикулярна к радиусу-вектору ОХ. Следовательно, скорость движения Е направлена к точке О, что означает следующее. [44]
Попытаемся теперь с помощью эвристических рассуждений понять, что происходит в случае большего числа управлений. Нарисованы также поверхности постоянных значений V. Те же рассуждения, что и раньше, показывают, что особое ( собирающее) поведение могут иметь лишь те кривые, на которых базовая плоскость локальной вектограммы касается поверхности постоянного значения V. Таким образом, здесь мы получаем скорее универсальную кривую, а не поверхность. [45]