Cтраница 3
Индексы нормальных напряжений а соответствуют осям, перпендикулярным данным площадкам, а касательные напряжения т имеют два индекса - первый соответствует оси, перпендикулярной площадке, а второй - оси, вдоль которой направлен вектор данной касательной составляющей. [31]
Если эти значения различны, то через точку ( хо, J / o) проходит несколько интегральных кривых уравнения (2.67) ( столько, каково число уравнений (2.68), полученных при разрешении уравнения (2.67) относительно производной), но направления векторов касательных к этим кривым в точке ( жо, уо) различны. [32]
Направление вектора касательной к интегральной кривой yk ( x) уравнения (2.68) в точке ( XQ, уо) определяется значением функции / jfe ( x ( b2 / o) - Если эти значения различны, то через точку ( жо 2 / о) ПР Х ДИТ несколько интегральных кривых уравнения (2.67) ( столько, каково число уравнений (2.68), полученных при разрешении уравнения (2.67) относительно производной), но направления векторов касательных к этим кривым в точке ( жо 2 / о) Различны. [33]
Рассмотрим касательное пространство 2J P к Р в этой точке. Оно содержит подпространство Vp, состоящее из векторов касательных к слою. [34]
Если х х1 ( з) есть параметрическое уравнение некоторой кривой ( s - длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки), то вектор и dxl / ds есть единичный вектор, касательный к кривой. Таким образом, при передвижении вдоль геодезической линии вектор касательной переносится параллельно самому себе. [35]
В частности, если / ( z0) - действительное положительное число, то векторы касательных к L в z0 и к А в f ( z0) параллельны и направлены в одну и ту же сторону. [36]
Как показано выше, первоначальные первые и вторые производные на этом сегменте умножаются на ЬТ1 и bf2 соответственно, и, следовательно, непрерывность модулей векторов производных будет нарушена, если константа Ь не одинакова для разных сегментов. Если первоначальная кривая описывается с помощью одного па - раметра, принимающего не равноотстоящие значения в узлах, то сохраняется непрерывность только направления вектора касательной, но не его длины. [37]
Конечно, автор не мог ограничить себя такой утилитарной целью, и опубликованная Геометрия векторного поля имеет самостоятельное значение. Автор по-новому определяет линии кривизны, асимптотические, геодезические линии, сопряженные направления, омбилические точки и полную кривизну поля, вместе с тем он вводит понятие линий винчения, где вектор касательной совпадает с вектором Дарбу, рассматривает поле вращения после специального комплекса и строит инварианты поля. [38]
В общем случае на трех любых взаимно перпендикулярных гранях элемента возникают различные полные напряжения, каждое из которых можно разложить на три составляющие ( рис. 2.100, а): одну, направленную по нормали к площадке, и две, лежащие в ее плоскости. Индексы нормальных напряжений а соответствуют осям, перпендикулярным данным площадкам, а касательные напряжения т имеют два индекса: первый соответствует оси, перпендикулярной площадке, а второй-оси, вдоль которой направлен вектор данной касательной составляющей. [39]
Если хг хг ( з ] есть параметрическое уравнение некоторой кривой ( s - длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки), то вектор иг dxl / ds есть единичный вектор, касательный к кривой. Это значит, что если вектор иг подвергнуть параллельному переносу из точки хг на геодезической линии в точку хг dxl на той же линии, то он совпадает с вектором иг dul, касательным к линии в точке хг dxl. Таким образом, при передвижении вдоль геодезической линии вектор касательной переносится параллельно самому себе. [40]
На поддерживающей дуге установим определенное направление движения, например, от А к В. Тогда в каждой точке поддерживающей дуги существует вектор касательной. Так как эта дуга не проходит через особые точки дифференциального уравнения, то в каждой ее точке получается определенный, с точностью до целократного 2я, угол между векторами - вектором, касательным к траектории, проходящей через эту точку, и вектором, касательным к поддерживающей дуге. [41]
В - вектор бинормали, то можно ожидать, что кривизна при и 0 невелика, если г ( 0) велико, и наоборот. То же самое может произойти вблизи конечной точки г ( 1), если г ( 1) увеличивается, в то время как г ( 0) остается постоянным. Эти предположения подтверждаются на опыте ( снова см. рисунки в разд. В частности, рассмотрим, что произойдет, когда длины хорд / - го и ( i - f 1) - го сегментов равны d и d / 1 соответственно, причем d d i. Длина вектора касательной к сплайну непрерывна в узле и / и, как видно из предпоследнего абзаца, поведение двух сегментов кривой будет в некоторой степени зависеть от отношения г ( I) / dt и 1Г ( 0 l / i - Если первое отношение велико, а второе мало, это вполне может привести к появлению петли, за которой следует линия, очень близкая к прямой. Такое поведение, по-видимому, неприемлемо для практических целей; оно происходит из-за того, что при аппроксимации значения параметра в узлах брались равноотстоящими, в то время как физически узлы расположены очень неравномерно. Один из путей преодоления этой трудности состоит в том, чтобы пренебречь непрерывностью длины вектора касательной, взяв г () малым непосредственно слева от узла u i и большим непосредственно справа от него. [42]
Очевидно, соответствующие им точки w WQ - - Аи. Дэд изображаются векторами секущих к кривым 71 и FI соответственно. Заметим, что argA и argAw имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов с положительными направлениями осей х и и, а Дг и Дги представляют собой длины этих векторов. При Az - 0 векторы секущих переходят в векторы касательных к соответствующим кривым. [43]
Если правильное расположение атомных плоскостей в кристалле нарушено тем, что одна из них обрывается вдоль некоторой прямой, эта линия наз. Она образуется, если разрезать кристалл по части ABCD плоскости РР, ограниченной прямой АВ ( рис., а на с. АВ и воссоединить на противоположных краях разреза атомы, ставшие после сдвига ближайшими соседями. Вектор сдвига Ъ, равный вектору трансляции решетки, наз. На промежуточных участках граница сдвига представляет собой смешанную дислокацию. Плоскость, проходящая через вектор Бюргерса и вектор касательной к линии дислокации, наз. [44]
В - вектор бинормали, то можно ожидать, что кривизна при и 0 невелика, если г ( 0) велико, и наоборот. То же самое может произойти вблизи конечной точки г ( 1), если г ( 1) увеличивается, в то время как г ( 0) остается постоянным. Эти предположения подтверждаются на опыте ( снова см. рисунки в разд. В частности, рассмотрим, что произойдет, когда длины хорд / - го и ( i - f 1) - го сегментов равны d и d / 1 соответственно, причем d d i. Длина вектора касательной к сплайну непрерывна в узле и / и, как видно из предпоследнего абзаца, поведение двух сегментов кривой будет в некоторой степени зависеть от отношения г ( I) / dt и 1Г ( 0 l / i - Если первое отношение велико, а второе мало, это вполне может привести к появлению петли, за которой следует линия, очень близкая к прямой. Такое поведение, по-видимому, неприемлемо для практических целей; оно происходит из-за того, что при аппроксимации значения параметра в узлах брались равноотстоящими, в то время как физически узлы расположены очень неравномерно. Один из путей преодоления этой трудности состоит в том, чтобы пренебречь непрерывностью длины вектора касательной, взяв г () малым непосредственно слева от узла u i и большим непосредственно справа от него. [45]