Cтраница 4
Отсюда следует, что такое преобразование само преобразует одно в другое многообразия оо сопряженных элементов; но по сравнению с расширенными точечными преобразованиями оно обладает существенно отличными свойствами. В то время как расширенное точечное преобразование, примененное к какому-нибудь многообразию оо сопряженных элементов, оставляет неизменным размерность точечного многообразия центров этих со элементов, преобразование Ли, вообще говоря, изменяет эту размерность, как если бы происходило разъединение многообразия оо сопряженных элементов и одновременно е этим объединение их согласно условию ( 34) вокруг новых центров, составляющих в своей совокупности точечное многообразие другой размерности. При этом если всякой связке из оо п элементов соответствует одна аналогичная связка, то преобразование сводится к расширенному точечному. [46]
Менее простым примером служит касательное расслоение. В каждой точке 6 G В построим всевозможные касательные векторы, они образуют пространство, эквивалентное Rk, где k - размерность многообразия В. [47]
Ситуация существенно отличается от той, с которой мы имели дело в одномерной задаче. Там для эволюционной ударной волны должно было иметь место соотношение gQ - - qz т - - 1 2, где д0 и jr2 - размерности многообразий интегральных кривых, выходящих из точки 0 и входящих в точку 2 при возрастании х соответственно. Так как в одномерном случае q0 1 и qz 1, то единственная возможность состоит в том, что д0 qz 1, иначе говоря, если уж данный диссипативный механизм обеспечивает существование структуры фронта, то единственная интегральная кривая, выходящая из точки 0 при возрастании х в нужном направлении обязательно стремится к точке 2 при х - оо. [48]
Самыми простыми структурно устойчивыми динамическими системами с дискретным временем являются диффеоморфизмы Морса - Смейла, которые имеют конечное множество возвращающихся точек. В этой работе мы изучаем вопрос о том, какие связ ные компоненты в пространстве всех диффеоморфизмов содержат системы Морса - Смейла, В случае когда размерность многообразия больше пяти, мы сводим этот вопрос - к вопросу из алгебраической топологии, относящемуся к многообразию и к рассматриваемой компоненте, а именно связанному с клетками, фундаментальной группой и индуцированными отображениями. В односвязном случае мы нашли следующие простые необходимые и. Морса - Смейла тогда и только тогда, когда все собственные значения индуцированного отображения в гомологиях являются корнями из единицы. [49]
С /, Vy, Vz) должна лежать в 3-мерной области / 4), то деред поршнем возникает лишь ударная волна этого типа. Для ионизующих ударных волн типа 3 требуется одно дополнительное граничное условие, поэтому для того, чтобы перед поршнем возникла только ионизующая ударная волна этого типа, размерность многообразия, в котором лежит точка в пространстве скоростей, должна быть ниже на единицу. Подчеркнем, однако, что ионизующие ударные волны типов 2 и 3 не являются какими-то специальными случаями, реализуемыми только, если компоненты скорости поршня удовлетворяют каким-то соотношениям. Вращение 2-мерных областей GD2R, GDZRC, / 3M4, I3R, I3RC дает 3-мерные области пространства ( С7, Vyt Fz), и если точка, представляющая скорость поршня, лежит в одной из этих областей, то перед поршнем возникает ионизующая ударная волна типа 2 или 3, отделенная от него МГД-течением соответствующего вида. [50]