Размерность - фазовое пространство
Cтраница 3
Поэтому разумным может быть такой подход, когда шаг за шагом делаются попытки построить модель сначала с малой, а затем с последовательно увеличивающейся размерностью фазового пространства, до тех пор пока не будет достигнута разумная степень соответствия. При этом предварительная оценка размерности вложения становится, вообще говоря, необязательной. [31]
Как видно из формулировки теоремы ( и из примера), движение в системе, интегрируемой в некоммутативном смысле, происходит по торам размерности меньшей половины размерности фазового пространства, то есть такие системы вырождены по сравнению с общими вполне интегрируемыми системами. [32]
Вещественную матрицу s можно выбрать так, чтобы процесс перехода решения х в состояние х 0 заканчивался не более, чем за п тактов, где п - размерность фазового пространства. [33]
 |
Построение соленоида Смейла - Вильямса. [34] |
Таким образом, суммируя изложенное, можно сделать вывод, что не только простые консервативные, но и совсем несложные диссипативные динамические системы ( например, система Лоренца), размерность фазового пространства которых больше или равна трем, могут иметь наряду с регулярными и очень сложные, хаотические режимы движения. Математическим образом такого хаотического поведения диссипативных систем является притягивающее множество сложной структуры - странный аттрактор. [35]
Так, например, ньютоновская механика систем из конечного числа материальных точек или твердых тел относится к этому классу. Размерность фазового пространства системы из и материальных точек равна 6 / i, а системы из п твердых тел - Yin. Движения жидкости, изучаемые в гидродинамике, процессы колебаний струны и мембраны, распространение волн в оптике и акустике - примеры процессов, которые нельзя описать с помощью конечномерного фазового пространства. [36]
Результаты исследования резюмируются ниже в виде таблиц и рисунков. Размерность фазового пространства уравнений, приводимых в таблицах, равна размерности центрального многообразия деформируемого ростка. В первом столбце таблицы указывается класс деформируемых ростков, во втором - его коразмерность v, в третьем описываются типичные ростки, в четвертом указывается топологическая нормальная форма деформируемого ростка, в пятом - главные деформации. Бифуркационные диаграммы и соответствующие фазовые портреты изображаются на рисунках, номера которых указываются в шестом столбце таблицы. Связь между типичными и главными деформациями для рассмотренных ниже классов такова. [37]
Если размерность фазового пространства, в котором находится двумерный устойчивый тор, больше трех, то возможны его бифуркации ( так же, как и периодического движения) типов N i, N - t и Nv. При бифуркации N t устойчивый тор Т - 2 сливается с седловым Тп - s и исчезает. При бифуркации N - t устойчивый тор удваивается, и одновременно от него отделяется седловой тор Тп-1-3. При бифуркации УУФ устойчивый тор Тп-2 переходит в неустойчивый и одновременно от пего отделяется трехмерный устойчивый тор или устойчивый тор Тп-2, становясь неустойчивым, сливается с трехмерным седловым тором. [38]
В случае одномерного или двумерного фазового пространства построение глобального фазового портрета и исследование его бифуркаций, в общем, осуществляется достаточно легко. С увеличением размерности фазового пространства построение глобального фазового портрета, а тем самым и его бифуркаций, становится все более сложной задачей. [39]
Рассмотрим уравнение с 2тг - перипдическими коэффициентами. Предположим, что размерность фазового пространства п равна 2 и что оба собственных числа оператора монодромии комплексны и равны по модулю единице. [40]
Фазовым пространством уравнения маятника является плоскость с координатами ( ж, ж): задание этих двух чисел в начальный момент определяет все движение маятника. Рассмотрим вопрос о размерности фазового пространства для общего уравнения п-го порядка ( 1): сколько чисел нужно задать в начальный момент, чтобы однозначно определить решение во все моменты времени. [41]
 |
Устойчивое W и неустойчивое Wu многообразия седлового предельного цикла. [42] |
В двумерных диссипативных динамических системах, поскольку фазовые траектории не могут пересекаться, возможны аттракторы только двух типов: устойчивые стационарные точки и устойчивые предельные циклы. Однако для систем с размерностью фазового пространства п 3 динамика уже не исчерпывается этими двумя простыми случаями. Кроме стационарных точек и предельных циклов в таких системах могут существовать и более сложные аттракторы, в частности двумерные инвариантные торы, отвечающие квазипериодическому движению с двумя рационально независимыми частотами. [43]
Математические пространства часто имеют размерность выше трех. Читателя может обеспокоить то, что даже для одной-единственной частицы размерность фазового пространства оказывается вдвое большей, чем мы обычно привыкли представлять. Но секрет успеха заключается в том, чтобы не пасовать перед трудностями. [45]
Страницы: 1 2 3 4