Cтраница 4
Знание однопараметрической группы симметрии векторного поля позволяет на 1 понизить размерность фазового пространства. [46]
Количество пар координат и импульсов, т.е. величину, вдвое меньшую размерности фазового пространства, называют числом степеней свободы. [47]
Моделирование такой динамической системы на ЭВМ показало [139], что ее эволюция позволяет неожиданно хорошо находить оптимальные или близкие к оптимальным маршруты обхода несмотря на то, что в системе отсутствует механизм, разрешающий выходить из состояний с локальными минимумами функции Ляпунова. Во-первых, число устойчивых притягивающих точек было невелико по сравнению с размерностью фазового пространства системы, а поэтому области притяжения разных точек, отвечающих метастабильным состояниям, не могли экранировать область притяжения состояния с абсолютным минимумом функции Ляпунова. Во-вторых, путем должного выбора параметров различия в глубинах локальных и абсолютного минимумов были сделаны большими, так что их области притяжения имели резко различающиеся размеры. В-третьих, использовались особые, почти симметричные начальные условия, не создававшие каких-либо специальных преимуществ для определенных маршрутов обхода. [48]
Отображение Т секущей поверхности определено в пространстве, размерность которого по крайней мере на единицу меньше, чем размерность фазового пространства системы. [49]
Но дискретные системы, которые рассматривает принцип Ньютона, не исчерпывают всю область физических явлений. В классической физике большее внимание было уделено непрерывным системам, полям, область пространства которых постоянна, а число степеней свободы, так же как и размерность фазового пространства ( ФП), бесконечно. Вплоть до появления великого максвелловского объединения электрических и магнитных явлений в электромагнетизме концепция поля могла быть рассмотрена в удобном приближении к дискретной системе ( объединению атомов и молекул) с очень большим числом материальных точек ( порядка числа Авогадро N - 6 02 х 1023), и именно это являлось сутью статической механики Максвелла - Больцмана. [50]
Однако непосредственно интегрировать уравнения ударного слоя невозможно; это, очевидно, удалось бы только в том случае, если бы одно из чисел nlt n2 равнялось единице, а другое совпадало с размерностью фазового пространства. В [126] интегрирование удается провести с помощью интересного приема, суть которого сводится к следующему. Переменные разбиваются на две группы ( в обе группы входит только By) таким образом, что уравнения ударного слоя относительно каждой группы переменных можно было бы непосредственно интегрировать, коль скоро остальные переменные известны как функции переменных данной группы. В качестве независимой переменной выбирается Ву. Итерационный процесс начинается с получения начального решения, удовлетворяющего правильным граничным условиям и системе уравнений ударного слоя, упрощенной за счет пренебрежения рядом диссипативных механизмов таким образом, чтобы ее можно было проинтегрировать. Затем интегрируются подсистемы уравнений относительно переменных каждой группы, причем переменные другой группы как функции By берутся из начального решения. На следующих шагах в качестве профилей переменных другой группы принимаются те, которые были получены на предыдущем шаге, и так продолжается до достижения сходимости. [51]
С М) такое, что локально оно выглядит как кусок пространства М и имеет в каждой точке единственную касательную гиперплоскость, т.е. W вложено в М гладко. Например, предельный цикл и двумерный инвариантный тор - это соответственно одномерное и двумерное подмногообразия. Но в диссипативных динамических системах, размерность фазового пространства которых п 3, могут существовать ограниченные притягивающие множества, которые являются аттракторами и одновременно не являются подмногообразиями. Такенсом в [101] и означал аттрактор, отличный от стационарной точки и предельного цикла. [52]
Ляпунова; они являются мерой того, насколько быстро близкие орбиты разбегаются в фазовом пространстве. Существует по одному показателю Ляпунова для каждой размерности фазового пространства. [53]
Члены этой группы произвели измерение фрактальной размерности конвективной ячейки в жидкости под действием градиента температуры ( конвекция Рэлея-Бенара, см. гл. Как показано на рис. 6.14, фрактальная размерность достигает насыщения при значении d 2 8, когда размерность фазового пространства вложения становится равной 5 и больше. [54]
Кольцо ( 8 - 3 - 5 - 4 - 8) на самом деле может быть легко разомкнуто. Усложнение происходит в том случае, если на потребление в пункте 8 наложено ограничение, что приводит к необходимости увеличивать размерность фазового пространства. [55]
Обозреть данные нетрудно, если нам известны все переменные системы. Мы просто наносим их на координатную плоскость. Это называется фазовым портретом системы - он вычерчивается в фазовом пространстве. Размерность фазового пространства зависит от количества переменных в системе. Если она включает в себя две или три переменных, можно наблюдать данные визуально. Если размерность системы больше трех, то это делается математическими методами. Последний метод сложнее, но тем не менее осуществим. [56]