Cтраница 3
КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ системы линейных уравнений, теорема Кронекера-Капелли: для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы. [31]
Она имеет лишь тривиальное ( нулевое) решение тогда и только тогда, когда гя, где г - ранг матрицы системы. В частности, если гп-п, то для того, чтобы система имела только тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы система была невырожденной. [32]
Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше количества неизвестных. [33]
Множество всех решений однородной системы линейных уравнений с п неизвестными является подпространством размерности п - г, где г - ранг матрицы системы. [34]
Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы равнялся рангу матрицы системы. [35]
Размерность линейного пространства решений однородной системы линейных уравнений равна п - г, где п - число неизвестных, г - ранг матрицы системы. [36]
Поскольку, согласно теоремам 1 и 3 из § 1, от каждой системы линейных уравнений можно перейти к эквивалентной ей ступенчатой системе, а ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы, в силу теоремы 3, при этом меняться не будут, то достаточно установить справедливость теоремы 4 для ступенчатой системы. Для ступенчатой же системы, в силу теоремы 1, ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы равны тогда и только тогда, когда эти матрицы имеют одинаковое число ненулевых строк, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда первый ненулевой элемент последней ненулевой строки расширенной матрицы не располагается в столбце свободных членов. Из анализа ступенчатой системы, проведенного в § 1, известно, что это имеет место тогда и только тогда, когда система совместна. [37]
Всякий минор матрицы системы является в то же время и минором расширенной матрицы. Следовательно, ранг матрицы системы не может быть больше ранга расширенной матрицы, а может быть только меньше или равняться этому рангу. Теорема Кронекера - Капелли утверждает, что если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна, а если равен ему, то совместна. [38]
Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно Много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. [39]
Три направляющих косинуса для каждого главного напряжения должны находиться из системы трех уравнений. Так как ранг матрицы системы (1.22) после подстановки в нее одного из главных, напряжений равен двум, одно из уравнений (1.22) является следствием двух других. [40]
Всякий минор матрицы системы является в то же время и минором расширенной матрицы. Следовательно, ранг матрицы системы не может быть больше ранга расширенной матрицы, а может быть только меньше или равен этому рангу. Теорема Кронекера - Капелли утверждает, что если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна, а если равен ему, то совместна. [41]
В этом пункте мы будем предполагать, что дана совместная система из т линейных уравнений с п неизвестными. Обозначим буквой г ранг матрицы системы. Поскольку ранг расширенной матрицы тоже равен г, мы можем выбрать базисный минор расширенной матрицы так, чтобы он был расположен. [42]
В этом пункте мы будем предполагать, что дана совместная система из т линейных уравнений с п неизвестными. Обозначим буквой г ранг матрицы системы. Поскольку ранг расширенной матрицы тоже равен г, мы можем выбрать базисный минор расширенной матрицы так, чтобы он был расположен в матрице системы. Данная нам система линейных уравнений, согласно предложению 2 § 4, перейдет в эквивалентную ей систему из г линейно независимых уравнений. [43]
Пусть матрица системы - квадратная. Для того чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. [44]
Тогда, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных ( г п), то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( гп), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым п - r неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся г неизвестных определятся уже единственным образом. [45]