Cтраница 4
Для существования допустимого решения необходимо ( но не достаточно. В дальнейшем считается, что это выполняется; ранг матрицы системы / - sgmn. [46]
Поскольку, согласно теоремам 1 и 3 из § 1, от каждой системы линейных уравнений можно перейти к эквивалентной ей ступенчатой системе, а ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы, в силу теоремы 3, при этом меняться не будут, то достаточно установить справедливость теоремы 4 для ступенчатой системы. Для ступенчатой же системы, в силу теоремы 1, ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы равны тогда и только тогда, когда эти матрицы имеют одинаковое число ненулевых строк, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда первый ненулевой элемент последней ненулевой строки расширенной матрицы не располагается в столбце свободных членов. Из анализа ступенчатой системы, проведенного в § 1, известно, что это имеет место тогда и только тогда, когда система совместна. [47]
Но так как эти А были найдены из условия (1.24) равенства нулю определителя системы (1.27), то для таких А одно или даже два уравнения (1.27) должны быть отброшены. Убеждаемся, что для AJ 1, AJ 2, АЗ 3 ранг матрицы системы (1.27) равен двум. Но тогда одно неизвестное из a, ft, 7 будет неопределенным. [48]
Расширенной называется матрица, полученная из матрицы системы добавлением столбца свободных членов. Прежде всего надо отметить, что ранг расширенной матрицы не может быть меньше ранга матрицы системы, так как при расширении матрицы все имевшиеся ранее миноры остаются. [49]