Cтраница 2
Другие варианты можно получить, ставя на место распределения Пуассона другие безгранично делимые распределения. [16]
Цель этой главы - показать, что основные теоремы, касающиеся безгранично делимых распределений, процессов с независимыми приращениями, устойчивых распределений и их областей притяжения, могут быть получены с помощью естественного обобщения рассуждений, использованных при доказательстве центральной предельной теоремы. Заметим, что излагаемая теория будет развита заново ( и в большем объеме) на основе анализа Фурье. [17]
Предельные теоремы этой главы служат естественным обобщением центральной предельной теоремы, а безгранично делимые распределения тесно связаны с нормальным распределением. Чтобы понять это, стоит повторить доказательство теоремы 1, гл. [18]
При определенных условиях класс предельных распределений для таких последовательностей совпадает с классом безгранично делимых распределений. [19]
Леви и А. Я. Хинчин, как мы видели, предложили разные формулы для характеристических функций безгранично делимых распределений, но каждая из них может быть выведена из другой. Этим формулам предшествовала формула, установленная А. Н. Колмогоровым для характеристической функции безгранично делимой случайной величины, имеющей конечную дисперсию. Интересно отметить, что первоначально устойчивые и безгранично делимые распределения возникли в теории суммирования независимых действительных случайных величин. [20]
В теории вероятностей за этот же срок была создана монография Основные понятия теории вероятностей, дано представление безгранично делимых распределений, найдено предельное распределение для максимума уклонения эмпирического распределения от истинного ( критерий Колмогорова), построена теория цепей Маркова со счетным множеством состояний, найдена связь между геометрией гильбертова пространства и рядом задач теории стационарных последовательностей. [21]
Другими словами, с точностью до произвольного способа центрирования существует взаимно однозначное соответствие между каноническими мерами и безгранично делимыми распределениями. [22]
Например, нормальное, пуассоновское и показательное распределения безгранично делимы. Основное значение безгранично делимых распределений состоит в том, что они выступают как предельные распределения для сумм независимых случайных величин. В 1936 г. Крамер доказал, что если свертка двух распределений нормальна, то оба распределения обязаны быть нормальными и, следовательно, безгранично делимыми. Два года спустя Райков получил аналогичный результат для пуассо-новских распределений. Эти результаты удивительны тем, что из них следует, что нормальные распределения можно разложить только на нормальные, и аналогичный факт верен для пу-ассоновских распределений. Но еще более удивительно то, что безгранично делимые распределения можно разложить на компоненты, не являющиеся безгранично делимыми. [23]
Например, нормальное, пуассоновское и показательное распределения безгранично делимы. Основное значение безгранично делимых распределений состоит в том, что они выступают как предельные распределения для сумм независимых случайных величин. В 1936 г. Крамер доказал, что если свертка двух распределений нормальна, то оба распределения обязаны быть нормальными и, следовательно, безгранично делимыми. Два года спустя Райков получил аналогичный результат для пуассоновских распределений. Эти результаты удивительны тем, что из них следует, что нормальные распределения можно разложить только на нормальные, и аналогичный факт верен для пуассоновских распределений. Но еще более удивительно то, что безгранично делимые распределения можно разложить на компоненты, не являющиеся безгранично делимыми. [24]
Например, нормальное, пуассоновское и показательное распределения безгранично делимы. Основное значение безгранично делимых распределений состоит в том, что они выступают как предельные распределения для сумм независимых случайных величин. В 1936 г. Крамер доказал, что если свертка двух распределений нормальна, то оба распределения обязаны быть нормальными и, следовательно, безгранично делимыми. Два года спустя Райков получил аналогичный результат для пуассо-новских распределений. Эти результаты удивительны тем, что из них следует, что нормальные распределения можно разложить только на нормальные, и аналогичный факт верен для пу-ассоновских распределений. Но еще более удивительно то, что безгранично делимые распределения можно разложить на компоненты, не являющиеся безгранично делимыми. [25]
Пуассоновское и обобщенное пуассоновское распределения безгранично делимы. Будет показано, что все безгранично делимые распределения являются пределами обобщенных пуассонов-ских распределений. [26]
Безгранично делимые распределения играют важную роль в предельных теоремах теории вероятностей и в теории случайных процессов. С одной стороны, только безгранично делимые распределения могут быть предельными распределениями сумм бесконечно малых независимых слагаемых. С другой стороны, конечномерные распределения стохастически непрерывных процессов с независимыми приращениями являются безгранично делимыми. [27]
Преобразования Фурье безгранично делимых распределений с конечными дисперсиями были найдены А. Леви нашел преобразования Фурье произвольных безгранично делимых распределений. [28]
Винером и Леви было показано, что траектории такого процесса с вероятностью 1 непрерывны1) и что это свойство выделяет нормальное распределение среди всех безгранично делимых распределений. [29]
При условии ( 1) справедлив следующий важный результат: класс предельных распределений для Sn - An ( / 1 - нек-рые центрирующие константы) совпадает с классом безгранично делимых распределений. Если распределения 5 сходятся к предельному, kn - voo и слагаемые одинаково распределены, то условие ( 1) автоматически выполняется. [30]