Cтраница 3
Безгранично делимые распределения тесно связаны со случайными процессами с независимыми приращениями. На данном этапе нам не потребуется теория случайных процессов; мы просто допускаем, что если некоторое явление может быть описано вероятностным образом, то это описание приведет к безгранично делимым распределениям. [31]
Значительная часть теории вероятностей связана с суммами независимых случайных величин, и порою число слагаемых в таких суммах само является случайной величиной. Мы ограничимся здесь рассмотрением ситуации, когда слагаемые являются целочисленными случайными величинами, чтобы показать, как используются производящие функции, и подготовиться к изучению ( в томе 2) безгранично делимых распределений и процессов с независимыми приращениями. [32]
Кардинальное изменение постановки задачи, предложенное Колмогоровым, состоит в том, чтобы аппроксимировать распределения сумм Sn не индивидуальным распределением ( и изучать скорость такой аппроксимации), а использовать для аппроксимации целые семейства безгранично делимых распределений. [33]
Свертка конечного часла подобных распределений приводит к каноническим мерам с конечным числом атомов. В общем случае мера М может быть представлена как предел подобных мер. Поэтому все безгранично делимые распределения могут быть представлены как пределы сверток конечного числа распределений Пуассона с нормальными распределениями. [34]
Преобразования Лапласа ф, соответствующие безгранично делимым распределениям, сходятся к преобразоьа. Лапласа ф некоторого распределения вероятностей тогда и только тогда, когда соответствующая мера Рп в каноническом представлении (7.2) сходится к Я. Следовательно, предел пс-следоиательности безгранично делимых распределений сам безгранично делим. [35]
Леви и А. Я. Хинчин, как мы видели, предложили разные формулы для характеристических функций безгранично делимых распределений, но каждая из них может быть выведена из другой. Этим формулам предшествовала формула, установленная А. Н. Колмогоровым для характеристической функции безгранично делимой случайной величины, имеющей конечную дисперсию. Интересно отметить, что первоначально устойчивые и безгранично делимые распределения возникли в теории суммирования независимых действительных случайных величин. [36]
В главе IV шире, чем в других главах, представлены связи теории вероятностей с другими науками. Обсуждаются и чисто вероятностные неожиданные факты, такие как существование небезгранично делимых компонент у безгранично делимых распределений. [37]
В главе IV шире, чем в других главах, представлены связи теории вероятностей с другими науками. Обсуждаются и чисто вероятностные неожиданные факты, такие, как существование небезгранично делимых компонент у безгранично делимых распределений. [38]
Другими словами, принадлежит области частичного притяжения каждого распределения с характеристической функцией вида epa - Jrq ( p - - q) и не принадлежит никаким другим областям частичного притяжения. Этот пример легко обобщить. В терминах выпуклых множеств можно утверждать, что существует распределение F, принадлежащее области частичного притяжения любого распределения, расположенного в выпуклой оболочке п заданных безгранично делимых распределений. [39]
X () - X ( tf -) представляют собой п взаимно независимых случайных величин. Приращения стационарны, если распределение X ( s - - t) - X ( s) зависит только от длины t интервала и не зависит от его положения на временной осн. Обратно, любое семейство безгранично делимых распределений с характеристическими функциями вида е № определяет процесс с независимыми стационарными приращениями. В § 7 этот результат будет обобщен для схемы серий на процессы с нестационарными независимыми приращениями. Приращение X ( t - f - s) - X ( s) будет тогда суммой приращений X ( tk ц) - X (), которые являются взаимно независимыми случайными величинами. Для таких процессов распределение приращений X ( / s) - X ( s) безгранично делимо. Существуют разрывные процессы такого типа, однако разрывы имеют простую природу и в определенном смысле устранимы. [40]
С /, ( Г) является многомерным аналогом степенной функции, 0 ( х) - const при I дс I - , а последний множитель представляет собой ( с точностью до множителя 0 ( х)) многомерный аналог медленно меняющейся функции. Этот аналог зависит от I дс I и поэтому, по сути дела, является одномерной функцией. Однако уже известны задачи, в которых в силу их специфических особенностей следует использовать многомерные аналоги правильно меняющихся функций с существенно многомерной медленно меняющейся компонентой. Такой задачей, например, является анализ асимптотического поведения на бесконечности некоторых классов безгранично делимых распределений в Rn. Это указывает на необходимость продолжения поиска более естественных многомерных обобщений правильно меняющихся функций. [41]
Этот результат допускает простую вероятностную интерпретацию. Теперь предположим, что распределение G безгранично делимо с характеристической функцией еу. Таким образом, случайная величина Т () служит операционным временем. Мы нашли чисто аналитическое доказательство того, что процедура подчинения всегда приводит к безгранично делимым распределениям. [42]
Отметим, что (1.8) есть не что иное, как основное уравнение для процессов со стационарными независимыми приращениями ( гл. Оно тесно связано с теорией полугрупп. В этом контексте 1 выступает в роли производящего оператора. Оказывается, что именно эта теория обеспечивает самый легкий подход к предельным теоремам и безгранично делимым распределениям. [43]
Предлагаемый сборник задач был задуман как учебное пособие, приспособленное к университетским курсам теории вероятностей и таким современным учебникам, как Теория вероятностей А. А. Боровкова, Вероятность А. Н. Ширяева, Курс теории случайных процессов А. Д. Вентцеля, Теория вероятностей. В книге отражен опыт авторов, работавших на механико-математическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики Московского университета. Сборник содержит около 1500 задач по многим разделам теории вероятностей, в том числе и по теории случайных процессов. При этом материал, соответствующий программе общего курса, расширен за счет включения тем, которые традиционно составляли содержание курса Дополнительные главы теории вероятностей, читавшегося в течение многих лет в МГУ. Это относится в первую очередь к главам Аналитические методы теории вероятностей, Безгранично делимые распределения, Условные распределения и условные математические ожидания. Задачник имеет небольшой отдел по элементарной теории вероятностей. Это оправдано тем, что начальная часть курса теории вероятностей очень хорошо обеспечена задачами в первом томе известной книги В. [44]
Например, нормальное, пуассоновское и показательное распределения безгранично делимы. Основное значение безгранично делимых распределений состоит в том, что они выступают как предельные распределения для сумм независимых случайных величин. В 1936 г. Крамер доказал, что если свертка двух распределений нормальна, то оба распределения обязаны быть нормальными и, следовательно, безгранично делимыми. Два года спустя Райков получил аналогичный результат для пуассоновских распределений. Эти результаты удивительны тем, что из них следует, что нормальные распределения можно разложить только на нормальные, и аналогичный факт верен для пуассоновских распределений. Но еще более удивительно то, что безгранично делимые распределения можно разложить на компоненты, не являющиеся безгранично делимыми. [45]