Cтраница 1
Расслоение Зейферта над орбиобразием S2 ( 2, 2, 2, 2) должно иметь инварианты Зейферта ( 2, 1) для каждого особого слоя. Расслоение над сферой S2, из которой выкинуты четыре двумерных диска с центрами в четырех конических точках, при ограничении на каждую из четырех граничных кривых должно давать тривиальное расслоение, поэтому оно само тривиально. Наконец, поскольку мы хотим, чтобы е равнялось нулю, и находимся в ситуации, когда b - целое число, мы видим, что такое расслоение единственно. Если рассматривать расслоения Зейферта над орбиобразием S2 ( 2 4, 4), то опять справедливо утверждение о том, что такое расслоение над сферой S2, из которой выкинуты три двумерных диска с центрами в конических точках, тривиально, и поэтому b - целое число, а е - b 1 / 2 ai / 4 - f a2 / 4, где ( 2 1), ( 4, aj) и ( 4, а2) - инварианты Зейферта особых слоев. Второе расслоение переходит в первое при изоморфизме, обращающем ориентацию слоев. [1]
Расслоений Зейферта над S2 ( n, n) с е 0 существует много. Тотальные пространства всех этих расслоений ориентируемы, а их инварианты Зейферта равны ( п, т) и ( п п - га), где га и n взаимно просты. [2]
Оставшиеся двенадцать расслоений Зейферта с неориентируемым тотальным пространством дают всего четыре различных многообразия - четыре расслоения на окружности над бутылкой Клейна. У каждого из этих многообразий по три структуры расслоения Зейферта, соответствующие трем различным направлениям в Е3, остающимся неизменными при действии его фундаментальной группы. Пусть, например, G - дискретная группа изометрий пространства Е3, порожденная сдвигами вдоль осей у и г и третьей изометрией, представляющей собой композицию сдвига вдоль оси х и отражения в плоскости ху. Слоение пространства Е3 на прямые, параллельные оси у, наделяет E3 / G структурой тривиального расслоения над бутылкой Клейна со слоем окружность. Прямые, параллельные оси г, превращают E3 / G в расслоение над тором со слоем окружность, а прямые, параллельные оси х - в слоение Зейферта над кольцом. [3]
Оно является расслоением Зейферта, а Рс2 - его база. [4]
Заметим, что расслоение Зейферта над 2 - это просто расслоение на окружности над X, и по крайней мере одно такое существует всегда. [5]
На самом деле все расслоения Зейферта, которые можно получить таким образом, отправляясь от геометрии S2X R, в точности совпадают с расслоениями Зейферта со сферическим базовым орбиобразием X и нулевой эйлеровой характеристикой. [6]
Далее, в случае расслоений Зейферта с ориентируемым тотальным пространством существует равенство, связывающее е и b ( см. формулу тремя абзацами ниже), и, используя это равенство, можно определить е ( ц) в случае, когда г - расслоение Зейфертэ над плохим орби-образием. [7]
Если М3 - тотальное пространство расслоения Зейферта ц с е ( т)) 0 и циклическая подгруппа в ni ( Af), носителем которой служит регулярный слой, центральна, то М является расслоением на поверхности над S1 о периодическим отображением склейки. [8]
Оказывается, каждое 3-многообразие Qc является расслоением Зейферта со слоем 5 над базой. [9]
Остается показать, что эйлерова характеристика структуры расслоения Зейферта т ] на М равна нулю. Как объяснялось в § 3, у многообразия М существует конечно-кратное ориентируемое накрывающее пространство М, которое является расслоением на окружности fj над некоторой замкнутой ориентируемой поверхностью X. В силу свойства естественности эйлеровой характеристики расслоения Зейферта достаточно установить, что e ( fj) равно нулю. [10]
Построенные автором поверхности склеены из базисных поверхностей расслоений Зейферта. Это открывает интересные связи с теорией трехмерных многообразий. [11]
Каждое многообразие U ( fc) является расслоением Зейферта со слоем S1 над базой Pi, являющейся двумерным многообразием с краем. Особая поверхность / с, вложенная в U ( fc), является подрасслоением этого расслоения. [12]
Заметим, что некоторые замкнутые многообразия допускают много структур расслоения Зейферта, но все эти структуры для заданного многообразия будут принадлежать одной геометрии. [13]
Над орбиобразием Р2 ( 2 2) существуют два расслоения Зейферта с е 0, причем тотальное пространство одного из них ориентируемо. Проведенное в § 3 обсуждение классификации расслоений Зейферта показывает, что при рассмотрении вопроса о числе расслоений Зейферта над данной базой наличием отражающих кривых можно пренебречь. [14]
Теорема 3.8. Пусть М - компактное трехмерное многообразие, гомеоморфное двум неизоморфным расслоениям Зейферта. [15]