Cтраница 3
Над орбиобразием Р2 ( 2 2) существуют два расслоения Зейферта с е 0, причем тотальное пространство одного из них ориентируемо. Проведенное в § 3 обсуждение классификации расслоений Зейферта показывает, что при рассмотрении вопроса о числе расслоений Зейферта над данной базой наличием отражающих кривых можно пренебречь. [31]
При этом каждый из слоев будет объединением слоев расслоения Зейферта. [32]
Как мы уже видели, любое двумерное орбиобразие без угловых отражателей является базой по крайней мере одного слоения Зейферта. Мы видели также, что естественный способ конструирования расслоения Зейферта над орбиобразием X заключается в следующем: нужно рассмотреть некоторое расслоение на окружности над поверхностью, а затем приклеить части, соответствующие связным компонентам особого множества орбиобразия X. [33]
Оставшиеся двенадцать расслоений Зейферта с неориентируемым тотальным пространством дают всего четыре различных многообразия - четыре расслоения на окружности над бутылкой Клейна. У каждого из этих многообразий по три структуры расслоения Зейферта, соответствующие трем различным направлениям в Е3, остающимся неизменными при действии его фундаментальной группы. Пусть, например, G - дискретная группа изометрий пространства Е3, порожденная сдвигами вдоль осей у и г и третьей изометрией, представляющей собой композицию сдвига вдоль оси х и отражения в плоскости ху. Слоение пространства Е3 на прямые, параллельные оси у, наделяет E3 / G структурой тривиального расслоения над бутылкой Клейна со слоем окружность. Прямые, параллельные оси г, превращают E3 / G в расслоение над тором со слоем окружность, а прямые, параллельные оси х - в слоение Зейферта над кольцом. [34]
Тогда многообразие ( S2 X X R) / G по-прежнему изоморфно S2XS, но оно наследует структуру слоения на прямые, а не на окружности. Во-вторых, два из указанных четырех многообразий допускают бесконечно много структур расслоения Зейферта. Например, многообразие S2 X 51 можно получить как фактормногообра-зие многообразия S2 X R по действию циклической группы, порожденной винтовым движением, поворотная часть которого может иметь любой наперед заданный порядок. [35]
Над орбиобразием Р2 ( 2 2) существуют два расслоения Зейферта с е 0, причем тотальное пространство одного из них ориентируемо. Проведенное в § 3 обсуждение классификации расслоений Зейферта показывает, что при рассмотрении вопроса о числе расслоений Зейферта над данной базой наличием отражающих кривых можно пренебречь. [36]
Все рассматриваемые факторпространства сферы S3, кроме призматических многообразий и линзовых пространств, обладают единственной структурой расслоения Зейферта. Призматические многообразия допускают две структуры расслоения Зейферта, а все линзовые пространства - бесконечно много структур расслоения Зейферта. [37]
На всяком замкнутом трехмерном многообразии М с геометрической структурой по образцу Nil имеется естественная структура слоения Зейферта. Поле ортогональных к слоям этого слоения плоскостей на М неинтегрируемо, поэтому на М нельзя ввести структуру расслоения на поверхности над некоторым одномерным орбиобразием со слоями, ортогональными слоям расслоения Зейферта. [38]
Пусть D - связная компонента множества N, являющаяся круговой окрестностью некоторой конической точки орбиоб-разия X. Обозначим ее край 6D через С. Расслоение Зейферта Т над D существует при любом угле развертки в конической точке, и оно будет слоеным полноторием. [39]
Осталось доказать, что любое слоение Зейферта допускает геометрическую структуру. Для заданного расслоения Зейферта т ] над орбиобразием X с тотальным пространством М мы определяем действие группы п ( М) на указанном в табличке многообразии посредством определения этого действия на некотором множестве образующих. Свобода выбора здесь не очень велика, и рассуждения для всех геометрий сходные. Описываемая ниже процедура применима и в этих случаях. [40]
Первым инвариантом расслоения Зейферта является базовое орбиобразие X. Обозначим через X орбиобразие X, из которого выкинута внутренность некоторой регулярной окрестности N множества особых точек. Тогда над X мы получим расслоение на окружности над поверхностью, а классификацию таких объектов мы уже обсудили. Заметим, что если X - замкнутая поверхность, то X совпадает с X. Отражающие прямые и окружности не требуют введения дополнительных инвариантов, так как произвольное расслоение на окружности над X единственным образом продолжается до расслоения Зейферта над объединением множества X со связными компонентами множества N, содержащими отражающие кривые. Добавив слоеные полнотория, соответствующие коническим точкам орбиоб-разия X, мы получим все данное расслоение Зейферта над X. Каждое слоеное полноторие определяет, как описывалось в начале параграфа, пару взаимно простых целых чисел ( р, q) - орбитальных инвариантов. В случае когда база - замкнутое орбиобразие, для завершения классификаций расслоений Зейферта необходим еще один инвариант. [41]
Среди орбиобразий без угловых отражателей геометрической структурой не обладают лишь S2 ( p) и S2 ( p, q), где р и q различны. Эйлерова характеристика расслоения Зейферта над S2 ( p) равна b - f - Р / р, где 1 р - р и b - целое число, поэтому она не может равняться нулю. Эйлерова характеристика расслоения Зейферта над S2 ( p q) равна 6 Pi / p р2 / 7, где b - целое число и 1 PI р, 1 р2 q, и тоже не может равняться нулю. [42]
Мы знаем, что G - циклическая группа. Таким образом, группа G действует на S3, сохраняя все эти слоения Зейферта. Базовые орбиобразия всех индуцированных расслоений Зейферта на фактормного-образии S3 / G имеют вид S2, S2 ( p) или S2 ( p, q), и поэтому S3 / G можно представить как объединение двух слоеных пол-ноториев. Эти фактормногообразия S3 / G являются линзовыми пространствами. [43]
Число е легко определить, действуя тем же самым способом, что и в § 2 при определении эйлеровой характеристики % ( Х) орбиобразия X. Напомним, что любое хорошее компактное двумерное орбиобразие конечнократно накрывается некоторой поверхностью. Это означает, что любое расслоение Зейферта с хорошей компактной базой конечнократно накрывается расслоением на окружности над некоторой поверхностью. [44]
Остается показать, что эйлерова характеристика структуры расслоения Зейферта т ] на М равна нулю. Как объяснялось в § 3, у многообразия М существует конечно-кратное ориентируемое накрывающее пространство М, которое является расслоением на окружности fj над некоторой замкнутой ориентируемой поверхностью X. В силу свойства естественности эйлеровой характеристики расслоения Зейферта достаточно установить, что e ( fj) равно нулю. [45]