Cтраница 4
Напомним, что многообразие Nil представляет собой линейное расслоение над Е2 и что группа Я1 ( М) действует на Nil, сохраняя эту структуру. Таким образом, М наследует структуру расслоения Зейферта t над некоторым орбиобразием X, являющимся факторпро-странством плоскости Е2 по действию некоторой группы изометрий. [46]
Мы можем разбить кольцо Е на двумерные диски В и В, разрезав его вдоль дуг а и Ь, как показано на рисунке. У каждого из этих дисков, рассматриваемых как орбиобра-зия, на границе имеется дуга из отражающих точек, и поэтому ясно, что они являются факторпространствами двумерного диска D2 по действию некоторого отражения. Значит, как было объяснено в начале параграфа, существуют расслоения Зейферта над В и над В, каждое из которых является сплошной бутылкой Клейна. Ограничение каждого из этих расслоений Зейферта на каждую из дуг о и Ь, принадлежащих дВ и дБ, является лентой Мебиуса. Особый слой в центре ленты Мебиуса проектируется в одну из точек aflCi или Ь П С. Имеются два существенно различных возможных отождествления. В одном случае ограничение расслоения Зейферта на С или С % является тором, а в другом оба эти ограничения дают бутылку Клейна. В каждом из случаев тотальное пространство расслоения Зейферта над Е есть скрученное / - расслоение над своим ограничением на С. Такое расслоение называется скрученным, если оно нетривиально. Ясно также, что это верно и для всех некомпактных связных компонент множества N, каждая из которых должна быть регулярной окрестностью некоторой прямой из отражающих точек. [47]
Другие структуры слоения Зейферта сохраняются не всеми правыми умножениями. Однако умножение в группе S3 справа на комплексные числа, по модулю равные единице, образующие окружность S1, которую мы отождествляем с окружностью 22 0 в S3, сохраняет все эти структуры. Таким образом, всякая конечная, а значит, циклическая подгруппа группы S1 свободно действует на S3, сохраняя все структуры слоения Зейферта, и при этом мы получаем фактормногообразия с бесконечным числом неизоморфных структур расслоений Зейферта. [48]
Расслоение Зейферта над орбиобразием S2 ( 2, 2, 2, 2) должно иметь инварианты Зейферта ( 2, 1) для каждого особого слоя. Расслоение над сферой S2, из которой выкинуты четыре двумерных диска с центрами в четырех конических точках, при ограничении на каждую из четырех граничных кривых должно давать тривиальное расслоение, поэтому оно само тривиально. Наконец, поскольку мы хотим, чтобы е равнялось нулю, и находимся в ситуации, когда b - целое число, мы видим, что такое расслоение единственно. Если рассматривать расслоения Зейферта над орбиобразием S2 ( 2 4, 4), то опять справедливо утверждение о том, что такое расслоение над сферой S2, из которой выкинуты три двумерных диска с центрами в конических точках, тривиально, и поэтому b - целое число, а е - b 1 / 2 ai / 4 - f a2 / 4, где ( 2 1), ( 4, aj) и ( 4, а2) - инварианты Зейферта особых слоев. Второе расслоение переходит в первое при изоморфизме, обращающем ориентацию слоев. [49]
Мы можем разбить кольцо Е на двумерные диски В и В, разрезав его вдоль дуг а и Ь, как показано на рисунке. У каждого из этих дисков, рассматриваемых как орбиобра-зия, на границе имеется дуга из отражающих точек, и поэтому ясно, что они являются факторпространствами двумерного диска D2 по действию некоторого отражения. Значит, как было объяснено в начале параграфа, существуют расслоения Зейферта над В и над В, каждое из которых является сплошной бутылкой Клейна. Ограничение каждого из этих расслоений Зейферта на каждую из дуг о и Ь, принадлежащих дВ и дБ, является лентой Мебиуса. Особый слой в центре ленты Мебиуса проектируется в одну из точек aflCi или Ь П С. Имеются два существенно различных возможных отождествления. В одном случае ограничение расслоения Зейферта на С или С % является тором, а в другом оба эти ограничения дают бутылку Клейна. В каждом из случаев тотальное пространство расслоения Зейферта над Е есть скрученное / - расслоение над своим ограничением на С. Такое расслоение называется скрученным, если оно нетривиально. Ясно также, что это верно и для всех некомпактных связных компонент множества N, каждая из которых должна быть регулярной окрестностью некоторой прямой из отражающих точек. [50]
На самом деле все расслоения Зейферта, которые можно получить таким образом, отправляясь от геометрии S2X R, в точности совпадают с расслоениями Зейферта со сферическим базовым орбиобразием X и нулевой эйлеровой характеристикой. Но здесь появляется новый момент. Существуют такие сферические орбиобразия X, что любое расслоение Зейферта над X должно иметь отличную от нуля эйлерову характеристику. [51]