Cтраница 3
Итак, мы поставили в соответствие G-инвариантной метрике у на Е тройку объектов ( / w 7p) где П - метрика на М, ш - форма связности в главном расслоении Р ( М К), а ур для любого р Р есть ( т-инвариантная метрика на G / H. Покажем теперь, что множество ( т-инвариантных метрик у на Е находится во взаимно однозначном соответствии с множеством таких троек. [31]
В силу 5.13 эквивариантные отображения ф: А - Y находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с заданными над A / G сечениями - расслоения YHxKXH - X / G, ассоциированного с главным расслоением Хн - - - X / G. [32]
До тех пор пока расслоение § т ( М) - - М, к-рому принадлежит сечение / / ( Л /), является однородным, возможна редукция G9 ( n, M) главного расслоения б ( я, М) - М реперов к нек-рой подгруппе НС. [33]
Тогда отношение эквивалентности в Р, определенное группой G, регулярно; если обозначить через PIG фактормногообразие и через я - каноническую проекцию из Р на PIG, то четверка ( Р, G, P / G, л) есть главное расслоение. [34]
Исходным пунктом геометрического подхода ( см. [ КП ], [ ДМ ], [ Tpl ], [ ДВ ], [ ЕГС ], [ НС ]) является понимание того, что задание калибровочной теории с калибровочной группой G ( будем считать ее компактной) следует начинать не с выбора лагранжиана калибровочных полей на многообразии М ( dimM n), играющем роль пространства-времени, а с выбора геометрии главного расслоения Р ( М, G), объединяющего в себе пространственно-временные и калибровочные симметрии теории. [35]
Главное расслоение ( В х G, G, prt) называется тривиальным главным расслоением с базой В и структурной группой G. Изоморфизм главного расслоения К ( Р, G, В, л) на тривиальное главное расслоение с базой В и структурной группой G называется три-виализацией расслоения А. [36]
Мы подробно рассмотрим два важных частных случая расслоений: главное расслоение и расслоение, ассоциированное с главным. В случае главного расслоения слой диффеоморфен некоторой группе. [37]
Поле А cr ( A), A ( Е g называется фундаментальным векторным полем, соответствующим А. По определению главного расслоения группа G действует на Р свободно, следовательно для любого А 0 поле А нигде не обращается в нуль. [38]
В педагогических целях в качестве первого шага в изучении калибровочных теорий в рамках геометрического подхода целесообразно рассмотреть частный случай электродинамики Максвелла. В качестве главного расслоения, на котором задается теория, мы возьмем тривиальное расслоение Р - М4 х U (), где М4 - пространство Минков-ского, т.е. пространство К4 с псевдоримановой метрикой, характеризуемой в декартовых координатах диагональным метрическим тензором fyji /: f / oo - 1 Па; 1 - Условимся считать, что индексы / i, i / 0 1 2 3; i j 1 2 3 и х - временная координата. [39]
Поэтому для описания метрики у B терминах независимых объектов, метрику у на Р нужно разложить дальше и отбросить ее вертикальную компоненту. ЙГ-инвариантная метрика на главном расслоении Р ( М К) порождает в нем связность. Ее горизонтальные подпространства определяются как ортогональные дополнения к вертикальным подпространствам Vp в ТРР. [40]
Для дальнейшего будет удобно ввести в рассмотрение главные расслоения. [41]
Следовательно, для фиксированного G-npo - странства У главное расслоение В составляет полный инвариант. [42]
Приведенное выше определение С. Естественное обобщение состоит в рассмотрении обобщенных G-структур - главных расслоений, гомоморфно отображающих на G-структуру, и сечений ассоциированных с ними расслоений. [43]
С, основную роль играют группы симметрии и связанные с ними главные расслоения. [44]
На этом завершается построение главного расслоения с базой В, структурной группой G и функциями склейки g p G. Таким образом, введенные в данном разделе характеристические классы описывают свойства главного расслоения, соответствующего группе калибровочных преобразований G. Зна i-зние характеристических классов основано на следующих обстоятельствах. Во-первых, для глобально тривиального расслоения все характеристические классы равны нулю. Действительно, в этом случае на всей базе В можно ввести единое гладкое калибровочное поле и в гомотопии (16.9) связность А положить равной нулю. В) являются точными формами, т.е. их классы когомологичности тоже равны нулю, характеристические классы, которые принадлежат группам 2П ( В), тривиальйы. Справедливо и обретное утверждение, согласно которому отсутствие характеристических классов означает возможность введения единого гладкого калибровочного поля на всем многробразии, т.е. тривиальность главного расслоения с группой G на базе В. Во-вторых, наличие характеристических классов для калибровочного поля с группой С приводит к существованию топалогических чисел, характеризующих данное калибровочное поле. [45]