Cтраница 4
Возникает вопрос о том, когда существует эквивалентное преобразование нормально разрешимого уравнения ( А) к уравнению с ограниченным оператором. В ранее сделанном построении оператор В - А 1 строился как расширение оператора Л 1, который определен па R ( А) и обращается в нуль только в нуле. [46]
Определение 8.5. Пусть имеются операторы Л и В с областями определения DA и DB соответственно. DA выполняется Au Bu, то говорят, что оператор В является расширением оператора А. [47]
Пусть теперь ( - Л22) - максимальный диссипативный л 4Г оператор. Так как с S) A, то всякое нетривиальное J-диссипативное расширение оператора А повлекло бы нетривиальное диссипативпое расширение оператора ( - Л22), и потому А - максимальный / - диссипативный, а А ] - максимальный диссипативпый оператор. [48]
Если т ф, то среди таких расширений нет самосопряженных; если т п и т, п конечны, то любое максимальное расширение оператора А является самосопряженным; если же дефектные числа т, п бесконечны и равны, то среди максимальных расширений имеются как самосопряженные, так и несамосопряженные. [49]
Теперь, процодя рассуждения аналогичные примененпым при доказательстве следствия 2.14, получим, что у У 1 существует ( У2, / О-нолуунитарпое ( Л, / 1) - бинерастягивающее расширение, ( 72, У) - сопряженное к которому и будет искомым расширением оператора У. [50]
В этой посвященной операторам главе были введены некоторые понятия. Сначала ( см. определения 8.1 - 8.10) был определен оператор как отображение множества Мг в множество М2 ( в качестве частного случая обсуждалось отображение Мг на М2), были введены равенство, сумма и произведение двух операторов ( в связи с этим упоминалось так называемое расширение оператора), определены простой оператор, оператор, обратный к данному, и линейный оператор. [51]