Значение - сеточная функция
Cтраница 3
При построении явной разностной схемы (8.36) производная dV / dx в уравнении (8.31) аппроксимировалась с помощью значений сеточной функции на / - м слое; в результате получалось разностное уравнение (8.35), в котором использовано значение сеточной функции u l лишь в одном узле верхнего слоя. Если производную dU / dx аппроксимировать на / 1 - м слое ( шаблон изображен на рис. 52), то получится неявная схема. [31]
При дискретизации континуальной задачи теории оболочек методом конечных разностей дифференциальные уравнения сводятся к системам алгебраических уравнений, где значения сеточных функций fij в узлах k ( i, j) конечно-разностной сетки неизвестны. Предельная для /, функция f ( x1, х2) при стремлении к нулю длины 6х сторон ячеек сетки будет решением рассматриваемой задачи, если разностный оператор аппроксимирует дифференциальные уравнения задачи. [32]
При этом каждая производная, входящая в дифференциальные уравнения, заменяется ( аппроксимируется) разностным соотношением, содержащим значения сеточной функции в нескольких узлах сетки. Однако применение разностных методов для решения поставленной задачи не всегда возможно, что обусловлено неудобством задания на границах исследуемой области смешанных граничных условий ( в напряжениях и перемещениях) и трудностями аппроксимации производных разного порядка. Поэтому здесь чаще применяется другой путь решения поставленной задачи, основанный на вариационном принципе Лагранжа. [33]
Неявная разностная схема (8.30), (8.31) сводится к системе трехточечных разностных линейных уравнений, т.е. таких, которые связывают значения сеточной функции в трех соседних узлах сетки. [34]
Разностная схема, аппроксимирующая двумерные дифференциальные уравнения газовой динамики, представляет собой нелинейную систему алгебраических уравнений высокого порядка относительно значений сеточных функций на верхнем временном слое. Для простоты рассмотрим вопросы, связанные с реализацией таких схем на примере уравнений газовой динамики в изотермическом приближении. [35]
При обращении к RKGS в него должны быть записаны весовые коэффициенты ф - для расчета локальной погрешности по N значениям сеточной функции. [36]
 |
Метод предиктор-корректор. [37] |
Заметим, что в этих формулах, как и в случае метода Адамса, при вычислении T / I необходимы значения сеточной функции в четырех предыдущих узлах: yi9 ь г / г 2, Уг - з - Следовательно, расчет по этому методу может быть начат только со значения г / 4 - Необходимые при этом г / i, г / 2, Уз находятся по методу Рунге-Кутта, г / о задается начальным условием. [38]
Как мы уже отмечали, суть этих методов сводится к замене исходной задачи для дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений для значений сеточной функции, аппроксимирующей на сетке решение исходной задачи. [39]
 |
Алгоритм решения волнового уравнения. [40] |
Алгоритм решения задачи (8.63) - (8.65) с помощью данной явной разностной схемы приведен на рис. 8.22. Здесь представлен простейший вариант, когда все значения сеточной функции, образующие двумерный массив, по мере вычисления хранятся в памяти компьютера, а после решения задачи происходит вывод результатов. [41]
В заключение еще раз отметим особенность одношаговых методов, состоящую в том, что для получения решения в каждом новом расчетном узле достаточно иметь значение сеточной функции лишь в предыдущем узле. Это позволяет непосредственно начать счет при г 0 по известным начальным значениям. Кроме того, указанная особенность допускает изменение шага в любой точке в процессе счета, что позволяет строить численные алгоритмы с автоматическим выбором шага. [42]
В частном случае а 3 0 система уравнений разрешается относительно неизвестных сеточных функций на / 1 - м временном слое по явным формулам через значения сеточных функций на / - м слое. Расчетные формулы в этом случае легко выписать. Простота программной реализации является привлекательной чертой явной схемы. [43]
В заключение еще раз отметим особенность одноша-говых методов, состоящую в том, что для получения решения в каждом новом расчетном узле достаточно иметь значение сеточной функции лишь в предыдущем узле. Это позволяет непосредственно начать счет при i 0 по известным начальным значениям. Кроме того, указанная особенность допускает изменение шага в любой точке в процессе счета, что позволяет строить численные алгоритмы с автоматическим выбором шага. [44]
В отличие от рассмотренных выше разностных схем решения начальной задачи ( схемы Эйлера, Рунге-Кутта), данная схема не дает явного алгоритма последовательного вычисления значений сеточной функции в узлах сетки, а представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которую входят неизвестные значения сеточной функции во всех узлах сетки. [45]
Страницы: 1 2 3 4