Cтраница 4
Далее, в формальных матричных операциях, приводящих к доказательству теоремы 22.1, не использовалось то обстоятельство, что матрицы Di являются диагональными. Поэтому уравнение (22.17) можно теперь интерпретировать как уравнение, выражающее собственные значения т) - ш) для метода последовательной верхней релаксации - по линиям через собственные значения ( обозначим их X f) для метода одновременных смещений по линиям. Если X f A f j для всех i, то мы можем быть уверены, что последовательная верхняя релаксация по линиям будет быстрее, чем последовательная верхняя релаксация по точкам. [46]
Конечно, величина А неизвестна, и поэтому задача нелинейна. Тем не менее почти каждый известный подход к решению линейных систем приводит к соответствующему итерационному методу для задачи на собственные значения. Например, метод последовательной верхней релаксации ( SOR) может оказаться очень эффективным для специальных задач, когда треугольное разложение матриц невозможно. [47]
Самый простой метод заключается в сведении системы дифференциальных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений ( L. Эти системы решаются итеративно путем последовательного понижения порядка на основе использования более грубых сеток ( см. F. Важную роль здесь играет метод последовательной верхней релаксации. [48]
Далее, в формальных матричных операциях, приводящих к доказательству теоремы 22.1, не использовалось то обстоятельство, что матрицы Di являются диагональными. Поэтому уравнение (22.17) можно теперь интерпретировать как уравнение, выражающее собственные значения т) - ш) для метода последовательной верхней релаксации - по линиям через собственные значения ( обозначим их X f) для метода одновременных смещений по линиям. Если X f A f j для всех i, то мы можем быть уверены, что последовательная верхняя релаксация по линиям будет быстрее, чем последовательная верхняя релаксация по точкам. [49]
Объединяя (5.17) - (5.19), легко видеть, что построенная нами по методу Ритца вариационно-разностная схема по структуре расположения ненулевых элементов и их виду практически совпадает с чисто разностными схемами. В частности, для случая постоянных р ( х, у) и q ( x, у) вариационно-разностный и разностный аналоги дифференциального оператора полностью совпадают. Отмеченное обстоятельство позволит применять для решения системы (5.17) эффективные итерационные методы, такие как метод расщепления, последовательной верхней релаксации и другие. [50]