Cтраница 2
Для решения вариационной задачи ( 3), ( 2) применим метод Ритца. [16]
Методы решения вариационных задач схожи с методами исследования функций на максимум и минимум. Поэтому кратко остановимся на свойствах экстремальных функций и функционалов, тем более что свойства экстремальных функций будут необходимы и при изложении экстремального управления. [17]
Принципы решения вариационных задач, возникающих при вычислении скорости создания сообщений, были указаны довольно давно Шенноном. По существу, однако, многие задачи такого рода, как видно из сказанного выше, достаточно просты. Возможно, что медленное развитие исследований в этом направлении связано с недостаточным пониманием того обстоятельства, что в типичных случаях решения вариационных задач оказываются очень часто вырожденными; например, в разобранной выше задаче вычисления Ня () для нормально распределенного вектора в re - мерном случае вектор часто оказывается не re - мерным, а лишь - мерным с k re, в бесконечномерном же случае вектор оказывается всегда конечномерным. [18]
При решении вариационных задач часто возникают трудности, связанные с тем, что на переменные наложены ограничения в виде неравенств, или с тем, что отыскиваемые функции х ( t) не являются непрерывными. Для решения таких задач может применяться метод, разработанный Л. С. Понтрягиным 27 и известный под названием принципа максимума. [19]
При решении вариационных задач классическими методами, как уже отмечалось выше, серьезные, а иногда и непреодолимые трудности возникают в тех случаях, когда отыскиваемые управляющие воздействия не принадлежат к классу непрерывных функций или когда на переменные задачи наложены ограничения типа неравенств. Для решения таких задач иногда с успехом может быть использован метод, сформулированный и доказанный в работах Л. С. Понтрягина и его учеников1 5, который получил название принципа максимума. [20]
При решении вариационных задач классическими методами, как уже отмечалось выше, серьезные, а иногда и непреодолимые трудности возникают в тех случаях, когда отыскиваемые управляющие воздействия не принадлежат к классу непрерывных функций или когда на переменные задачи наложены ограничения типа неравенств. Для решения таких задач иногда с успехом может быть использован метод, сформулированный и доказанный в работах Л. С. Понтрягина и его учеников [1-5], который получил название принципа максимума. [21]
При решении вариационных задач методом Ритца весьма целесообразно использование ЭВМ и ЦВМ. [22]
При обратном решении вариационной задачи предполагается заданной некоторое замкнутое, относительно конечного количества функций, множество уравнений с необходимыми граничными условиями и связями, накладываемыми на эти функции и их производные. Лагранжа для некоторого функционала, по ней восстанавливается этот функционал и определяется характер его экстремума ( максимум или минимум) на экстремалях функционала. Тогда обратное решение вариационной задачи сводится к максимизации или минимизации восстановленного функционала с соблюдением граничных условий и связей, накладываемых на его экстремали и их производные. В связи с отсутствием в математике общих методов решения множества нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка, к которой в наиболее общем случае сводится прямое решение, а также благодаря развитию численных методов поиска экстремумов функций и широкому распространению цифровой вычислительной техники, обратное решение наиболее часто применяется в реализации постановки вариационных задач. [23]
При решении вариационных задач газовой динамики необходимо знать предельные ( определяемые граничными условиями) свойства сверхзвуковых течений. [24]
Итак, решение вариационной задачи всегда существует. Следовательно, всегда существует решение задачи Дирихле в определенной на стр. [25]
Итак, решение вариационной задачи с подвижными концами, кроме уравнений Эйлера, должно удовлетворять условиям трансверсальности. Уравнения Эйлера-Лагранжа имеют такой же вид, что и в случае задачи с закрепленными концами. [26]
Как выполняется решение вариационных задач с помощью проекционных методов. [27]
Являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими. Особое место занимает 6-я проблема ( в. [28]
Описанный метод решения вариационной задачи для функционала W является на первом этапе приближенным. Именно поэтому и удается получить решение на этом этапе в замкнутой форме. Однако, будучи приближенным, этот метод выгодно отличается от других методов тем, что даваемое им решение тем точнее, чем тоньше оболочка при заданных масштабах рассматриваемых деформаций, и оно становится точным, когда толщина оболочки неограниченно убывает. Если рассматривать вариационную задачу для функционала W как задачу с малым параметром ( толщина оболочки), то получаемое нами решение представляет собой основное приближение к точному решению. [29]
Данный метод решения вариационных задач существенно отличается от метода Ритца. [30]